By: Kevin Hartnett
Cuatro matemáticos han catalogado todos los tetraedros con ángulos racionales, resolviendo una pregunta sobre formas geométricas básicas utilizando técnicas de la teoría de números.
l tetraedro es la forma tridimensional más simple con lados planos. Sus propiedades básicas han seducido a mentes curiosas desde Platón y Aristóteles. Ahora, una prueba concluyente publicada en noviembre ha identificado de manera certificable todos los tetraedros especiales que se pueden encontrar. El trabajo responde a una pregunta sobre una forma antigua gracias a una innovación de vanguardia que proporciona a los matemáticos una nueva técnica para encontrar soluciones a determinadas ecuaciones.
“Estos son objetos matemáticos idealizados que estarán con nosotros para siempre, y ahora los conocemos todos”, dijo Martin Weissman de la Universidad de California en Santa Cruz.
Un tetraedro tiene una base triangular y tres lados triangulares que forman una pirámide. Pares de caras se encuentran a lo largo de los bordes para crear ángulos “diedros”, de los cuales un tetraedro tiene seis.
La nueva prueba identifica todas las diferentes formas de configurar un tetraedro para que los seis ángulos diedros tengan valores racionales, lo que significa que cada uno puede escribirse claramente como una fracción. Establece que existen exactamente 59 ejemplos aislados más dos familias infinitas de tetraedros que cumplen esta condición.
Los matemáticos de hecho descubrieron estos tetraedros en particular hace décadas utilizando técnicas de búsqueda computarizadas, pero no sabían si existían más. En términos más generales, no tenían idea de cómo probar si los habían encontrado a todos.
“Los encontraron en la década de 1990, pero no fue hasta 2020 que pudimos demostrar que eran los únicos”, dijo Kiran Kedlaya de la Universidad de California en San Diego. Kedlaya es coautor de la prueba, junto con Alexander Kolpakov de la Universidad de Neuchâtel en Suiza, Bjorn Poonen del Instituto de Tecnología de Massachusetts y Michael Rubinstein de la Universidad de Waterloo. (Poonen recibe fondos de la Fundación Simons, que también financia esta publicación editorialmente independiente ).
El problema de clasificar tetraedros con ángulos diedros racionales puede parecer simple, pero resolverlo requirió años de conocimiento matemático acumulado, además de un grado de poder de cómputo que no estaba disponible ni siquiera hace una década.
“Esto no puede ser producido por alguien simplemente sentado jugando con papel y lápiz. Desarrollaron métodos muy sofisticados ”, dijo Marjorie Senechal de Smith College.
La prueba de 30 páginas contiene algunos dibujos. En cambio, su lógica depende de resolver una ecuación polinomial, un tipo de ecuación que presenta coeficientes y variables elevadas a potencias, como y = 3 x 2 + 6. Por supuesto, el polinomio en cuestión en la demostración es mucho más complicado que eso.
“Bajo el capó hay mucha teoría de números, pero en su superficie es geometría”, dijo Kedlaya.
El vínculo entre la geometría y la teoría de números dio a los matemáticos una oportunidad, pero tuvieron que trabajar duro para explotarlo. Esto se debe a que encontrar soluciones especiales para ecuaciones complicadas, y demostrar que las ha encontrado todas, es intrínsecamente difícil. Para la mayoría de las ecuaciones, los matemáticos no saben cómo hacerlo.
“No existe un método general que siempre tenga éxito. Casi siempre fallará en responder la ecuación ”, dijo Peter Sarnak del Instituto de Estudios Avanzados.
Excepto en este caso, los matemáticos no fallaron. Al descubrir un nuevo método para encontrar soluciones a ecuaciones polinomiales, respondieron una pregunta básica sobre formas y posiblemente facilitaron la búsqueda de soluciones a otras ecuaciones en el futuro.
Prueba de tetraedros
La cuestión de identificar todos los tetraedros con ángulos diedros racionales (tetraedros racionales) se planteó formalmente por primera vez en un artículo de 1976 de John Conway y Antonia J. Jones.
Los dos estaban motivados por el deseo de encontrar tetraedros que pudieran cortarse y ensamblarse como un cubo del mismo volumen, una propiedad conocida como congruencia de tijeras. Al explorar este problema, estaban extendiendo una línea de pensamiento que se remonta a 1900, cuando David Hilbert propuso 23 problemas para guiar la investigación matemática en el siglo XX. Su tercer problema preguntaba si algún par de formas tridimensionales con el mismo volumen son congruentes con las tijeras. Pronto se demostró que esto no era cierto, pero resulta que todos los tetraedros racionales son congruentes con el cubo.
“Conway y Jones preguntaron sobre los tetraedros racionales como un caso especial de la cuestión mucho más difícil de clasificar los tetraedros”, dijo Kedlaya.
Estos son objetos matemáticos idealizados que estarán con nosotros para siempre.
Martin Weissman, Universidad de California, Santa Cruz
La pareja llegó a esbozar un método para encontrar estos tetraedros: resolver una ecuación polinómica particular. Su ecuación presenta seis variables, correspondientes a los seis ángulos diedros de un tetraedro, y tiene 105 términos, lo que refleja la forma complicada en que los ángulos diedros de un tetraedro se relacionan entre sí. (Por el contrario, podría pensar que los tres ángulos interiores de un triángulo están relacionados en términos de un polinomio simple con solo tres términos: a + b + c = 180 grados).
La ecuación polinomial que Conway y Jones identificaron también tiene infinitas soluciones, que representan las infinitas configuraciones de posibles tetraedros. Para encontrar las deseadas, con todos los ángulos diedros racionales, Conway y Jones dijeron que los matemáticos necesitaban encontrar una clase especial de soluciones a la ecuación, que correspondería exactamente a los tetraedros racionales.
No sabían cómo encontrar las soluciones por sí mismos, pero confiaban en que se podría hacer, escribiendo: “Parece bastante probable que el tetraedro general … cuyos ángulos diedros son racionales se pueda encontrar mediante nuestras técnicas”.
Más de 40 años después, cuatro matemáticos confirmaron que tenían razón.
Raíces de unidad
La estrategia de Conway y Jones es bastante común entre los matemáticos, quienes a menudo buscan tipos especiales de soluciones cuando estudian ecuaciones polinómicas. Pueden ser soluciones de números enteros o de números racionales. O, como es el caso de este nuevo trabajo, pueden ser soluciones que llevan el elegante nombre de “raíces de unidad”.
La mayoría de las raíces de la unidad no aparecen en la recta numérica ordinaria. En cambio, se encuentran entre los números complejos: números como 3 + 4 i que tienen una parte real (3) y una parte imaginaria (4). Las raíces de la unidad sirven como soluciones para las ecuaciones polinomiales y tienen la propiedad algebraica especial de que elevarlas a una determinada potencia da 1. También tienen una elegante representación geométrica: todas se encuentran en el círculo unitario en el plano complejo.
Para resolver el polinomio de Conway-Jones en general, los matemáticos deben asignar números complejos a las seis variables para que la ecuación de 105 términos sea verdadera. Las variables no representan literalmente las medidas de los ángulos en sí mismas, sino que representan números complejos asociados a los cosenos de los ángulos. Conway y Jones observaron que los tetraedros racionales corresponderían a soluciones del polinomio en el que todas las variables son raíces de unidad.
“Tus seis ángulos se convierten en seis puntos en el círculo unitario y necesitas esos números complejos para satisfacer una ecuación polinomial”, dijo Weissman.
Sin embargo, conocer esta correspondencia fue menos útil de lo que parece. Encontrar algunas soluciones es una cosa. Demostrar que los ha encontrado a todos es un desafío completamente diferente y mucho más difícil.
En 1995, dos de los autores del nuevo trabajo, Poonen y Rubinstein, encontraron lo que finalmente resultó ser cada tetraedro con ángulos diedros racionales. En esencia, adivinaron la forma de encontrarlos, introduciendo combinaciones de seis números racionales.
“Puede probar seis números racionales e insertarlos en la ecuación”, dijo Poonen. “El problema con eso es que solo te permite encontrar soluciones. No te permite saber cuándo los has encontrado a todos “.
Encontrar todas las soluciones
En su nuevo trabajo, los cuatro matemáticos demostraron que la lista de tetraedros de ángulos racionales que Poonen y Rubinstein encontraron hace 25 años estaba completa; no hay otros ejemplos esperando ser descubiertos.
Su colaboración comenzó en marzo de 2020, cuando Poonen asistió a una charla que mencionó algún trabajo relacionado que Kedlaya había hecho con otro colaborador. Los dos habían buscado las raíces de la unidad de un polinomio diferente para resolver una cuestión de clasificación diferente. Poonen vio de inmediato su relevancia para su investigación anterior e inconclusa sobre los tetraedros.
“Bjorn se interesó mucho”, dijo Kedlaya. “Él dijo: ‘Espera un minuto, esto es lo que necesitaba en la década de 1990′”.
Poonen envió un correo electrónico a Kedlaya y describió el problema de encontrar tetraedros racionales. Su breve correo electrónico terminó con una nota optimista. “Llegué bastante lejos con esto en la década de 1990 [con Michael Rubinstein], y creo que con mucho trabajo humano y de computadora podría ser posible terminarlo”, escribió.
Después de ese correo electrónico, Kedlaya se acercó a Kolpakov, quien también estaba usando raíces de unidad para clasificar tipos de formas geométricas. Al mismo tiempo, Poonen se puso en contacto con su antiguo colaborador Rubinstein. Con el equipo en su lugar, se pusieron rápidamente a trabajar.
“Nos reuníamos con bastante regularidad durante unas dos horas a la semana durante unos meses”, dijo Kedlaya. Y cuando comenzaron su búsqueda de una lista completa de las raíces de la unidad para el polinomio de Conway-Jones, tenían un sentido muy amplio de dónde buscar.
Sabían que las soluciones tenían que caer en algún lugar por debajo de un número muy grande, el límite superior. Pero el límite era tan grande que no había forma de buscar todas las posibilidades debajo de él.
“Esos límites en seis variables son horrendos. Están lejos del alcance de lo que es factible sin ideas fundamentalmente nuevas ”, dijo Sarnak.
Los cuatro matemáticos hicieron factible la búsqueda a través de dos innovaciones principales.
Primero, bajaron el límite superior. En su nuevo artículo demostraron que la única ecuación polinomial complicada que representa a los tetraedros puede representarse en términos de muchos polinomios más simples.
“Pasamos de una ecuación de seis variables a una colección de cientos de ecuaciones más simples”, dijo Kedlaya.
Demostraron que las raíces de la unidad de estos polinomios más simples se encuentran todas debajo de un límite superior mucho más pequeño que el vasto e inescrutable asociado con el polinomio más complicado. Y debido a la correspondencia entre las ecuaciones más simples y las complicadas, encontrar raíces de unidad para una conduciría a raíces de unidad para la otra. Desafortunadamente, incluso el intervalo más pequeño todavía era demasiado grande para que pudieran buscar sin más para continuar.
La segunda innovación de los autores fue idear una forma inteligente de buscar este intervalo más pequeño. Sabían que las soluciones tenían una cierta estructura simétrica, lo que significaba que si había una solución en una parte del intervalo, también tenía que haber una solución en otra parte del intervalo.
Esto no puede ser producido por alguien simplemente sentado jugando con papel y lápiz.
Marjorie Senechal, Smith College
Eso les permitió desarrollar nuevos algoritmos que aprovecharon esta estructura para buscar de manera más eficiente. También implementaron estos algoritmos en computadoras mucho mejores que las que Conway y Jones tenían a su disposición cuando propusieron el ataque de raíces de unidad al problema.
“Resulta que tuvimos que actualizar un poco la estrategia [de Conway y Jones], beneficiándonos de 40 años de conocimiento adicional y mejores computadoras”, dijo Kedlaya.
Los nuevos algoritmos buscaron todas las combinaciones posibles de soluciones dentro del intervalo más estrecho. Con base en esta búsqueda final exhaustiva, los autores finalmente demostraron que solo hay 59 ejemplos aislados de tetraedros con ángulos diedros racionales y dos familias infinitas de tetraedros, exactamente las mismas que Poonen y Rubinstein habían encontrado décadas antes. Los tetraedros dentro de cada familia infinita varían según un parámetro, ofreciendo infinitas formas de aumentar el tamaño de algunos ángulos y disminuir otros mientras se mantienen racionales todos los ángulos diedros.
El resultado tiene algo para todos.
Para los matemáticos interesados en identificar las raíces de la unidad de las ecuaciones polinomiales, el artículo proporciona una nueva forma ventajosa de encontrarlas. En particular, los métodos que los autores utilizaron para tomar el complicado polinomio de Conway-Jones y reducirlo a muchos polinomios más simples probablemente se apliquen a otras ecuaciones polinomiales difíciles que no pueden abordarse directamente.
“Este trabajo sugiere que puede haber muchos otros problemas que parecían no factibles que pueden ser factibles con este tipo de ideas”, dijo Sarnak.
Y para los matemáticos, y cualquier otra persona, que encuentran placer en la integridad, el artículo proporciona una respuesta nueva y perfecta: aquí están todos los tetraedros de sus sueños.
“Es un logro bastante hermoso”, dijo Sarnak.
