La misteriosa matemática de la perfección

By: Patrick Honner

Ingrese al mundo de los números perfectos y explore el misterio que los matemáticos han pasado miles de años tratando de resolver.

a sonrisa de Mona Lisa. Bóveda olímpica de Mary Lou Retton. El tono musical de Mariah Carey. Todos se consideran perfectos. También lo son los números 6 y 28.

Con proezas artísticas y atléticas, la perfección está en el ojo del espectador. Pero para los números, la perfección se define matemáticamente. Los “números perfectos” son iguales a la suma de sus divisores “propios” (números enteros positivos que dividen un número de manera uniforme, sin contar a sí mismo). Por ejemplo, 6 = 3 + 2 + 1 y 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1. Si bien estas curiosidades matemáticas tienen la misma probabilidad de adornar las paredes del Louvre como de realizar una voltereta de diseño retorcido, ofrecen algo irresistible: un misterio perfecto.

Euclides expuso los conceptos básicos de los números perfectos hace más de 2000 años, y sabía que los primeros cuatro números perfectos eran 6, 28, 496 y 8.128. Desde entonces, se han descubierto muchos más números perfectos. Pero, curiosamente, todos están igualados. Nadie ha podido encontrar un número perfecto impar, y después de miles de años de búsqueda infructuosa, podría ser tentador concluir que los números perfectos impares no existen. Pero los matemáticos tampoco han podido demostrarlo. ¿Cómo es posible que podamos saber tanto sobre números perfectos pares sin poder responder la pregunta más simple sobre uno impar? ¿Y cómo intentan los matemáticos modernos resolver esta antigua cuestión?

Nuestra exploración de la perfección matemática comienza con los divisores. Sabemos que 6 es un divisor de 12 ya que = 2, y sabemos que 25 es un divisor de 100 ya que12610025= 4. Como dijimos, sabemos que un número es perfecto cuando es igual a la suma de sus divisores propios, aquellos divisores que son menores que el número mismo. También podemos definir un número como perfecto cuando la suma de todos sus divisores, propios e impropios, es el doble del número. Esto funciona porque el único divisor impropio de un número es el número en sí. Vemos que 28 sigue siendo perfecto según esta definición: sus divisores propios son 1, 2, 4, 7 y 14, su divisor impropio es 28 y la suma de todos sus divisores, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 , es 56, que es 2 × 28. Incluir el divisor impropio en la suma es conveniente para algunos de los álgebra que haremos con números perfectos, como veremos en breve.

Cuando trabajamos con números perfectos, terminamos diciendo mucho “la suma de los divisores de un número”, por lo que los matemáticos facilitaron las cosas al convertir esto en una función. Definiremos σ ( n ), o “sigma de n “, como la suma de los divisores de n . Ya sabemos que σ (28) = 56. Algunos otros ejemplos: σ (1) = 1, σ (6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12, y σ (10) = 1 + 2 + 5 + 10 = 18. Observe que 6 es un número perfecto, ya que σ (6) = 2 × 6, pero 1 y 10 no lo son. Como veremos, esta función σ tiene algunas propiedades especiales que son perfectas para estudiar números perfectos.

Así que tenemos nuestra definición básica de números perfectos y una nueva herramienta matemática para ayudarnos a encontrarlos. ¿Dónde deberíamos empezar a buscar? Comenzaremos donde los matemáticos siempre comienzan cuando estudian números y sus patrones: los números primos.

Un número primo, por definición, es divisible solo por sí mismo y 1. Esto hace que calcular σ para un número primo sea bastante fácil: σ (2) = 1 + 2 = 3, σ (3) = 1 + 3 = 4, σ ( 5) = 1 + 5 = 6 y σ (7) = 1 + 7 = 8. En general, para cualquier número primo p , σ ( p ) = 1 + p .

¿Podría ser perfecto un número primo? Solo si σ ( p ) = 1 + p  = 2 p . Un poco de álgebra nos dice que esto será cierto siempre que  p  = 1, pero dado que los números primos son mayores que 1 por definición, ningún primo podría ser perfecto. Entonces sabemos que los números primos no pueden ser perfectos. ¿Dónde deberíamos mirar ahora?

Las potencias de los números primos (números como 2 ⁴ , 5 ³ o 113 ⁶ ) son un buen paso siguiente, ya que sus divisores son fáciles de organizar. Considere una potencia principal como 16 o 2 ⁴ . Los únicos divisores de 2 ⁴ son las potencias de 2 hasta 2 ⁴ : 2 ⁰ = 1, 2 ¹ = 2, 2 ² = 4, 2 ³ = 8, 2 ⁴ = 16. Entonces σ (2 ⁴ ) se puede calcular como esto:

σ (2 ⁴ ) = 1 + 2 + 2 ² + 2 ³ + 2 ⁴ = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31.

Y esto se generaliza. Para cualquier potencia primaria p ⁿ

σ ( p ⁿ ) = 1 + p + p ² + p ³ +… + p ⁿ .

 Esto se vuelve aún más fácil si usamos una fórmula de la clase de álgebra. Observe que cada uno de los términos que se suman en σ ( p ⁿ )  es p veces el término anterior. Esto hace que esta sea una de las llamadas series geométricas, y hay una buena fórmula para la suma de una serie geométrica:

1 +  p  +  p ²  +  p ³  +… +  p ⁿ = .pagn + 1- 1p – 1

(Para obtener más información sobre esta asombrosa fórmula, consulte los ejercicios al final de la columna).

Gracias a la fórmula de la serie geométrica, no tenemos que enumerar todos los divisores de p ⁿ para calcular σ ( p ⁿ ) . Podemos simplemente usar la fórmula:

σ ( p ⁿ ) = 1 + p  +  p ²  +  p ³  +… +  p ⁿ  = .pagn + 1- 1p – 1

Por ejemplo, ya hemos visto que

σ (2 ⁴ ) = 1 + 2 + 2 ² + 2 ³ + 2 ⁴ = = = 31.25- 12 – 132 – 11

Y podemos calcular la suma de los divisores de otras potencias primas simplemente insertándolos en la fórmula:

σ (27) = σ (3 ³ ) = = = 4034- 13 – 181 – 12

y

σ (121) = σ (11 ² ) = = = 133.113- 111 – 11331 – 110

Observe que ninguno de estos poderes primos satisface la condición para ser perfecto: σ (2 ⁴ ) ≠ 2 × 2 ⁴ , σ (3 ³ ) ≠ 2 × 3 ³ y σ (11 ² ) ≠ 2 × 11 ² . De hecho, ningún poder principal puede ser perfecto. Para obtener un número perfecto necesitamos σ ( p ⁿ ) = 2 p ⁿ , lo que significaría:

1 + p + p ² + p ³ +… + p ^n -1 + p ⁿ = 2 p ⁿ .

Podemos restar p ⁿ de ambos lados de la ecuación para darnos:

1 +  p  +  p ²  +  p ³  +… +  p ^n -1  =  p ⁿ .

Ahora usaremos la fórmula de la serie geométrica en el lado izquierdo de esta ecuación: Dado que

1 + p + p ² + p ³ +… + p ^n -1 =pagnorte- 1p – 1

obtenemos

pagnorte- 1p – 1 =  p ⁿ .

Necesitamos que esto sea cierto para que p ⁿ sea ​​perfecto. Pero observe que p ⁿ – 1 es más pequeño que p ⁿ , y dividir p ⁿ – 1 por p – 1 lo hará aún más pequeño, por lo que

pagnorte- 1p – 1 <  p ⁿ .

Y, por tanto, ninguna potencia primaria p ⁿ puede ser perfecta.

Así que no hay primos perfectos ni poderes primos perfectos. ¿Qué puede ser perfecto? Bueno, sabemos que 28 es perfecto y es el producto de dos poderes primos distintos: 28 = 2 ² × 7.

Cualquier número que no sea primo o primo puede escribirse como el producto de distintos poderes primos como este. Y estas factorizaciones, junto con una propiedad especial de la función σ, pueden ayudarnos a determinar si un número es perfecto.

Ya sabemos que σ (28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28, pero echemos un vistazo más de cerca a esa suma. Observe que cada uno de los últimos tres números es un múltiplo de 7:

Podemos factorizar ese 7 para revelar alguna estructura oculta:

σ (28) = (1 + 2 + 4) + 7 × (1 + 2 + 4).

Y con una factorización más inteligente con la propiedad distributiva, podemos escribir

σ (28) = (1 + 2 + 4) (1 + 7).

Esto no nos dice nada que no sepamos: σ (28) = (1 + 2 + 4) (1 + 7) = 7 × 8 = 56, lo que confirma que 28 es perfecto. Pero hay algo importante escondido dentro de esa multiplicación:

σ (28)= ( 1 + 2 + 4 ) ( 1 + 7 )= ( 1 +21+22) ( 1 +71) .

Las expresiones entre paréntesis parecen familiares: 1 + 2 ¹ + 2 ² = σ (2 ² ) y 1 + 7 ¹ = σ (7). Esto significa que realmente podemos escribir

σ (28) = σ (2 ² ) σ (7).

Para calcular σ (28) = σ (2 ² × 7) podemos calcular σ (2 ² ) y σ (7) y multiplicarlos. Esto es una sorpresa, y es cierto en general: cada vez que factorizas un número en números primos como este, puedes usar este atajo para calcular σ. Por ejemplo, dado que 100 = 2 ² × 5 ² , podemos calcular σ (100) así:

σ (100) = σ (2 ² ) σ (5 ² ) = (1 + 2 + 4) (1 + 5 + 25) = 7 × 31 = 217,

que es un poco más fácil que enumerar los nueve divisores de 100 y sumarlos.

¿Por qué funciona esto? Bueno, los divisores de un número provienen de sus factores primos. Considere 28 nuevamente, que es el producto de 2 ² y 7, y piense en la siguiente tabla de multiplicar:

X	1	2	4
1
7

A lo largo de la parte superior están las potencias de 2 que dividen uniformemente a 28, y en la parte inferior están las potencias de 7 que dividen uniformemente a 28. Observa lo que sucede cuando completamos esta tabla de multiplicar.

X	1	2	4
1	1	2	4
7	7	14	28

Obtenemos todos los divisores de 28. Eso es porque cada divisor de 28 es una combinación de divisores de 2 ² y 7, los poderes primos que aparecen en la factorización de 28.

Ahora compara la tabla de multiplicar con la expresión

(1 + 2 + 4) (1 + 7).

Cuando multiplicamos esto usando la propiedad distributiva, esto también produce todos los divisores de 28 y luego los suma:

(1 + 2 + 4) (1 + 7) = 1 × 1 + 2 × 1 + 4 × 1 + 7 × 1 + 7 × 2 + 7 × 4.

En otras palabras, (1 + 2 + 4) (1 + 7) es exactamente σ (28). Pero (1 + 2 + 4) (1 + 7) también es σ (2 ² ) σ (7). Entonces σ (2 ² ) σ (7) = σ (28). Este ejemplo demuestra un hecho muy útil sobre σ: en el lenguaje de la teoría de números, esta función es “multiplicativa”. Eso significa que σ ( ab ) = σ ( un ) σ ( b ) siempre que los números a y b son “primos”, lo que significa que no tienen factores en común.

Esta es la característica especial de σ que es perfecta para ayudarnos a estudiar números perfectos. Euclid usó este hecho hace 2.000 años para crear una fórmula para encontrar números perfectos, con la ayuda de un tipo especial de primos y un argumento inteligente sobre productos y divisores. Al hacerlo, dio el primer paso para determinar cómo debe verse todo número perfecto. Veamos cómo lo hizo.

Primero, observe que para cualquier potencia de 2 tenemos

σ (2 ^k ) = = 2 ^k +1 – 1.2k + 1- 12 – 1

Esta es una consecuencia de la fórmula de la serie geométrica que discutimos anteriormente. Ahora considere el siguiente experimento mental: ¿Qué pasa si 2 ^k +1 – 1 es primo?

Bueno, dado que σ ( p ) = 1 + p para cualquier primo, sabemos que σ (2 ^k +1 – 1) = 1 + 2 ^k +1 – 1 = 2 ^k +1 . Y observe que 2 ^k +1 es exactamente el doble de 2 ^k , debido a la ley de exponentes que dice 2 × 2 ^k = 2 ^k +1 . Entonces tenemos las siguientes dos relaciones interesantes entre los números 2 ^k y 2 ^k +1 – 1:

σ (2 ^k ) = 2 ^k +1 – 1

y

σ (2 ^{k + 1} – 1) = 2 ^k +1 = 2 × 2 ^k .

Euclides notó una forma inteligente de aprovechar estas relaciones: puso los dos números juntos para hacer el número M = 2 ^k × (2 ^k +1 – 1), y siempre que (2 ^{k + 1} – 1) sea primo, este ¡El número es perfecto! Para ver esto, vamos a calcular σ ( M ) y demostrar que es igual a 2 M .

Primero, observe que 2 ^k +1 – 1 es uno menos que un número par, por lo que debe ser impar. Esto significa que 2 ^k +1 – 1 no es divisible por 2. Pero 2 ^k solo es divisible por potencias de 2. Así que 2 ^k y 2 ^k +1 – 1 no tienen factores comunes y, por lo tanto, son primos relativos. Esto nos permite usar la propiedad multiplicativa de σ:

Ya sabemos que σ (2 ^k ) = 2 ^k +1 – 1 y σ (2 ^k +1 – 1) = 2 ^k +1 = 2 × 2 ^k , entonces podemos encontrar σ ( M ):

σ( M)= σ(2k× (2k + 1- 1 ) )= σ(2k) σ(2k + 1- 1 )= (2k + 1- 1 ) ( 2 ×2k)= ( 2 ×2k) (2k + 1- 1 )= 2 (2k× (2k + 1- 1 ) )= 2 ( M) .

Entonces M = 2 ^k × (2 ^k +1 – 1) es perfecto, como se afirma.

Tenga en cuenta que esto se basa en la suposición de que el número 2 ^k +1 – 1 es primo. Estos números se denominan números primos de Mersenne, y es posible que haya oído hablar de ellos debido a Great Internet Mersenne Prime Search ( GIMPS ), un esfuerzo informático colaborativo en línea para encontrar grandes números primos de Mersenne. Siempre que escuche sobre el descubrimiento de un nuevo número primo más grande, probablemente sea el resultado de GIMPS. Y gracias a la prueba de Euclides, cada vez que se descubre un nuevo número primo de Mersenne, también se descubre un nuevo número perfecto.

Por ejemplo, 2 ⁵ – 1 = 31 es un número primo de Mersenne, por lo que 2 ⁴ (2 ⁵ -1) = 16 × 31 = 496 es un número perfecto. Además, 2 ² – 1 = 3 es un número primo de Mersenne, por lo que 2 ¹ (2 ² – 1) = 2 × 3 = 6 es perfecto. Y 2 ³ – 1 = 7 es un número primo de Mersenne, por lo que 2 ² (2 ³ – 1) = 4 × 7 = 28 es perfecto.

Puede que hayas notado que todos estos números perfectos son pares. Esto tiene sentido, porque mientras k > 0, el número 2 ^k × (2 ^k +1 – 1) será par. (Y si k = 0 entonces 2 ^k +1 – 1 es 1, que no es primo).

También puede haber notado que todos los números perfectos que hemos discutido hasta ahora parecen involucrar números primos de Mersenne. Eso no es una coincidencia: 2.000 años después de que Euclides demostrara que esta fórmula genera números perfectos, Leonhard Euler demostró que esta es la única forma de obtener números perfectos. Pero la cuestión de cómo podrían ser los números perfectos impares (si es que existen) permanece abierta.

Y permanece abierto hoy. Aunque no pueden encontrar uno, los matemáticos tienen mucha información sobre cómo se vería un hipotético número perfecto impar. No puede ser divisible por 105. Tendría que tener al menos nueve factores primos distintos, el segundo más grande de los cuales tendría que ser mayor que 10,000. Y tendría que tener un resto de 1 cuando se divide por 12 o un resto de 9 cuando se divide por 36.

Puede parecer extraño probar resultados sobre números que tal vez ni siquiera existan. Pero cada nueva regla reduce un poco más la búsqueda. Y si tienen suerte, los matemáticos podrían demostrar que los números perfectos impares tienen que satisfacer dos criterios incompatibles, lo que probaría de una vez por todas que no existe ningún número perfecto impar.

En la búsqueda de criterios incompatibles, los matemáticos incluso han comenzado a buscar números que no son del todo perfectos . Un “número perfecto falso” es un número que parece perfecto si pretendes que uno de sus factores no primos es realmente primo. Por ejemplo, 60, el producto de 3, 4 y 5, se puede considerar “falso perfecto”: si pretendes que el 4 en su factorización es un primo, entonces los atajos que desarrollamos para σ nos dan

(1 + 3) (1 + 4) (1 + 5) = 4 × 5 × 6 = 120.

Si σ (60) es igual a 120, entonces 60 sería perfecto. Por supuesto, σ (60) en realidad no es igual a 120, pero lo parece si pretendemos que 4 es un primo. Eso es lo que lo convierte en una parodia.

Estas parodias son como generalizaciones de números perfectos, por lo que cualquier cosa cierta sobre una parodia tendría que ser verdad también sobre un número perfecto. Comprender las falsificaciones impares sería especialmente útil, ya que cualquier regla descubierta para las falsificaciones impares podría agregarse a las reglas existentes para números perfectos impares, aumentando las posibilidades de encontrar criterios contradictorios y reduciendo el espacio de búsqueda general.

René Descartes, otro famoso matemático atraído por el misterio de los números perfectos, descubrió la primera parodia impar del número perfecto y desafió a los matemáticos a encontrar otros. Al aceptar el desafío, los matemáticos han ampliado el concepto de parodia y han descubierto una nueva clase de números para estudiar. En su mayor parte, las investigaciones sobre estos números perfectos falsos se realizan simplemente por el placer de la exploración matemática. Pero quizás algo que aprendamos sobre las parodias nos ayudará a demostrar que los números perfectos impares reales no pueden existir, o quizás nos lleve a uno.

Puede parecer extraño pasar miles de años buscando números con propiedades curiosas, probando teoremas sobre objetos que podrían ni siquiera existir e inventando mundos de números nuevos e incluso más extraños para explorar. Pero para un matemático, tiene mucho sentido.

Ejercicios

1. Un número se llama “abundante” si es menor que la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 36 es abundante, ya que 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 = 55, que es mayor que 36. ¿Cuál es el número abundante más pequeño?

2. Un número es “deficiente” si es mayor que la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 35 es deficiente, ya que 1 + 5 + 7 = 13, que es menos de 35. ¿Son los poderes primos deficientes o abundantes?

3. Usa la propiedad distributiva para multiplicar ( p – 1) (1 +  p  +  p ²  +  p ³  +… +  p ⁿ ) y simplificar.

4. Suponga que  N  es un número impar y suponga que M = 2 N y es perfecto. Demuestre que N debe ser igual a 3.