By: CHRIS GROSSACK
Los Hilbert Spaces son espacios banach cuyas normas provienen de un producto interior. Esto es fantástico, porque los espacios interiores de productos son una cantidad mínima de estructura para la cantidad de geometría que nos compran. Debido a la nueva estructura geométrica, muchas de las patologías de los espacios de banach están ausentes de la teoría de los espacios de hilbert, y la rigidez de la categoría de los espacios de hilbert (hay un invariante cardinal completo que describe los espacios de hilbert hasta el isomorfismo isométrico) lo hace extremadamente fácil de hacer un espacio abstracto de hilbert concreto. Además, esta “concretización” es exactamente la génesis de la transformada de Fourier.
Con esa introducción fuera del camino, ¡manos a la obra!
Primero, unas palabras sobre convenciones. Estaré trabajando con el producto interior ⟨X,y⟩que es lineal en la segunda ranura y conjugado lineal en la primera. Esto a menudo se llama la notación “física”, pero tengo una razón para ello:
Teorema de representación de Riesz
Si H es un espacio de Hilbert, entonces el mapaX↦⟨X,⋅⟩:H→H∗
es una isometría lineal conjugada H≅H∗.
En particular, cada funcional lineal en un espacio de Hilbert tiene la forma ⟨X,⋅⟩ para algunos X1 .
Dado que escribimos la aplicación de función a la izquierda 2 , tiene sentido para el funcional asociado⟨X,⋅⟩para estar también “a la izquierda”. Con la convención estándar de “matemático”, en su lugar tenemos el mapa lineal ⟨⋅,y⟩ que actúa sobre X “A la derecha” por X↦⟨X,y⟩.
Obviamente esto no importa en absoluto, pero siento la necesidad de llamar la atención sobre ello 3 .
Hay dos ejemplos clave de espacios hilbert:
- L2(X,μ) es un espacio de Hilbert, con el producto interior⟨F,gramo⟩≜∫F-gramo Dμ
- Un caso especial de lo anterior, si A es cualquier conjunto y # es la medida de conteo, entonces ℓ2(A)=L2(A,#) es un espacio hilbert con el producto interior⟨(Xα),(yα)⟩≜∑Xα-yα
De hecho, como veremos, cada espacio de Hilbert es isomtricamente isomorfo a algunosℓ2(A), y así como podemos distinguir los espacios vectoriales por la cardinalidad de su base, podemos distinguir los espacios de hilbert por la cardinalidad de su “base de hilbert”.
Primero, sin embargo, ¿por qué deberíamos preocuparnos por los productos internos? ¿Cuánta estructura extra nos compra realmente ? La respuesta es: ¡mucho!
Como suele ser el caso en matemáticas, los teoremas en un escenario concreto se convierten en definiciones en un escenario más general, y una vez que hacemos esto, gran parte de la intuición para el escenario concreto se puede trasladar. Para nosotros, entonces, veamos qué podemos hacer con los productos internos.
Primero, vale la pena recordar que un producto interno define una norma.‖F‖≜⟨F,F⟩
por lo que toda función de conservación del producto interno también conserva la norma.
Resulta que también podemos ir al otro lado, y la identidad de polarización nos permite escribir el producto interno en términos de la norma 4 . ¡Esto es fantástico, ya que significa que cualquier función de preservación de normas preserva automáticamente el producto interior!
También podemos definir el ángulo entre los vectores porporqueθ≜⟨F,gramo⟩‖F‖‖gramo‖
y cuando θ=±π2 (Eso es cuando ⟨F,gramo⟩=0) Nosotros decimos eso F y gramoson ortogonales , escritosF⊥gramo.
Por supuesto, una vez que tenemos la ortogonalidad, tenemos un famoso teorema de la antigüedad:
El teorema de Pitágoras
Si F1,…,Fnorte son ortogonales por pares, entonces
‖∑Fk‖2=∑‖Fk‖2
Como ejercicio rápido, debe probar la Ley de los cosenos :
Para cualquier F y gramo, si el ángulo entre F y gramo es θ, luego:
‖F+gramo‖2=‖F‖2+‖gramo‖2-2‖F‖‖gramo‖porqueθ
Una vez que tenemos la ortogonalidad, también tenemos la noción de complementos ortogonales. Es posible que recuerde del escenario de dimensión finita que no hay (a priori) un complemento distinguido para un subespacio. Por ejemplo, dos 1-los subespacios dimensionales son complementos en R2. Pero si nos descomponemosR2 como una suma directa de las subsaces que se muestran a continuación, probablemente sentiríamos que hay una “mejor opción” de complemento para el subespacio naranja:
El subespacio azul es uno de los muchos complementos del naranja, entonces, ¿por qué deberíamos elegirlo sobre cualquier otra cosa? En cambio, podemos usar el producto interno (en particular, la noción de ortogonalidad) para elegir un complemento canónico :
¿Por qué este complemento es canónico? Porque es el complemento único para que cada vector azul sea ortogonal a cada vector naranja.
En la configuración del espacio banach (donde no tenemos acceso a un producto interno) recuerde que hay subespacios que no tienen complemento. En el escenario del espacio de Hilbert, este problema desaparece: ¡el complemento ortogonal siempre existe y es un complemento 5 !
Si U es un subespacio de H, el complemento ortogonal deU esU⊥≜{X∣∀tu∈U.⟨tu,X⟩=0}.
U⊥ es siempre un subespacio cerrado de H, y además(U⊥)⊥=U-
Así que si Ues un subespacio cerrado deH, luego (U⊥)⊥=U y H=U⊕U⊥.
También puede recordar del caso finito que podemos encontrar bases particularmente agradables para los espacios de productos internos (llamadas bases ortonormales ). Entonces es natural preguntarse si hay una extensión analítica de este concepto al entorno del espacio hilbert.
La respuesta, por supuesto, es sí”:
Si {tuα}⊆H es ortonormal (es decir, ortogonal por pares y de norma 1), los siguientes son equivalentes:
- (Completitud) Si ⟨tuα,X⟩=0 para cada α, luego X=0
- (Identidad de Parseval) ‖X‖2=∑α|⟨tuα,X⟩|2
- (Densidad) X=∑α⟨tuα,X⟩tuα, y la suma converge sin importar cómo estén ordenados los términos 6
Si alguno (y por lo tanto todos) de lo anterior se satisface, decimos que {tuα}es una base de Hilbert paraH.
Además, ¡ cada espacio de hilbert admite una base de hilbert!
Estas condiciones son muy fundamentales para la teoría del espacio de Hilbert, y vale la pena recordar. La forma en que me gusta recordar es
Dejar {tuα}α∈A ser una base de Hilbert para H.
El mapa X↦(⟨tuα,X⟩)α∈Aes un mapa unitario que presencia el isomorfismo (¡isométrico!)H≅ℓ2(A).
Aquí, la identidad de Parseval nos dice que este mapa es isométrico, y la densidad nos dice que el mapa inverso obvio (Cα)↦∑Cαtuα realmente es una inversa.
De hecho, se puede demostrar que el tamaño de una base de hilbert es un invariante completo para los espacios de hilbert. Es decir, dos bases de hilbert cualesquiera paraH tienen la misma cardinalidad (a menudo llamada Dimensión de Hilbert ), y H1≅H2si y solo si tienen la misma dimensión de Hilbert 7 .
Esa es mucha información sobre los espacios de hilbert en abstracto. Pero, ¿por qué debería importarnos todo esto? ¡Veamos cómo solucionar algunos problemas utilizando esta maquinaria!
Trabajemos con L2(S1), el espacio de hilbert de funciones cuadradas integrables en el círculo unitario. Clásicamente, los extendemos para que sean funciones periódicas enR, pero resulta ser un punto de vista equivocado 8 .
Un espacio de hilbert es separable si y solo si tiene una base de hilbert contable. Esto es bueno ya que la mayoría de los espacios de Hilbert que surgen en la práctica (incluyendoL2(S1)) son separables, por lo que podemos trabajar con una suma contable (aunque el teorema es cierto en términos más generales). Para nosotros, notamos que{miInorteX}norte∈Z es una base de Hilbert para L2(S1), sj esperaríamos que las funciones periódicas se descompongan en una suma infinita de estas funciones básicas.
Históricamente, fue un problema muy importante comprender la convergencia de las “series de Fourier”. Es decir, si definimosF^(norte)≜∫mi-InorteXF
(que nosotros, con el beneficio de la retrospectiva, reconocemos como ⟨miInorteX,F⟩)
¿Cuándo es el caso que podemos recuperarnos? F como la suma ∑-∞∞F^(norte)miInorteX? Es decir, como elnorte→∞límite de la serie de Fourier parcialSnorteF≜∑-nortenorteF^(norte)miInorteX
En particular, para funciones “agradables” F, es el caso que limnorte→∞SnorteF(X)→F(X)puntual? Si no es así, ¿hay algún sentido en el queSnorteF→F?
Este problema fue fundamental durante cientos de años, con Fourier publicando su tratado sobre la teoría del calor en 1822, y hay libros de texto escritos tan recientemente como 1957lo que dice que se desconoce si los coeficientes de Fourier de una función continua tienen que converger incluso en un punto. Consulte la encuesta histórica aquí para obtener más información, así como las notas completas del curso aquí del mismo autor.
El idioma de Lpag y los espacios de Hilbert no se desarrollaron hasta el 1910s, y son integrales (juego de palabras) al formular la solución del problema de convergencia de la serie de Fourier ( Teorema de Carleson ).
El teorema de Carleson es famoso por ser difícil de probar, ¡ya que podemos obtener una solución parcial de forma gratuita utilizando la teoría de los espacios de hilbert!
Para cualquier L2 función F, tenemos
SnorteF⟶L2F
¡Esta es exactamente la parte de “densidad” de la equivalencia anterior! Con algo de trabajo, uno puede demostrar queSnorteF→F en el Lpag norma para cualquier pag≠1,∞9 .
Los espacios de Hilbert también son útiles en el mundo de la teoría ergódica . Digamos que tenemos una funciónT desde algún espacio X a sí mismo, que deberíamos considerar como una descripción de cómo Xevoluciona en un paso de tiempo. Uno podría esperar que si promediamos la posición de un puntoXcon el tiempo, deberíamos converger en un punto fijo de la transformación 10 .
¡Un resultado de la teoría espacial de Hilbert nos dice que no estamos equivocados!
Teorema ergódico de Von Neumann
Si U:H→H es un operador unitario en un espacio hilbert separable, entonces para cada X∈H tenemoslimnorte→∞1norte∑k=0norte-1UkX=π(X)
dónde π es la proyección ortogonal sobre el subespacio de U-puntos fijos {X∣UX=X}.
¡Esto nos da el teorema ergódico medio como corolario!
Si T:X→X es la medida de preservar y F∈L2(X), luego1norte∑k=0norte-1TnorteF→π(F)
dónde π es una proyección (ortogonal) sobre el T-Funciones invariantes.
¡Bien! Hemos visto algunos de los resultados fundamentales en la teoría espacial de Hilbert, y vale la pena recordar que nuestras técnicas del mundo espacial de Banach aún se aplican. Los espacios de Hilbert son muy comunes en el análisis, con aplicación en PDE, Teoría Ergódica, Teoría de Fourier y más. La capacidad de hacer álgebra básicamente como cabría esperar, y aprovechar nuestra intuición geométrica, es extremadamente útil en la práctica.
La próxima vez, haremos un recorrido rápido por las aplicaciones del Teorema de la categoría de Baire , y luego pasaremos a la Transformada de Fourier enR!
La clasificación es dentro de una semana, pero estoy empezando a sentirme mejor con el material. Esto ha sido muy útil para organizar mis pensamientos y, si tengo suerte, es posible que todos los encuentren útiles también.
Si lo has estado, ¡gracias por leer! Y te veré la próxima vez ^ _ ^.
- La prueba es bastante fácil una vez que tengamos un poco más de maquinaria.Toma un funcional F. SiF=0, luego X=0obras. De lo contrario,Ker(F) es un subespacio cerrado adecuado de H, y tiene un complemento ortogonal no trivial. Si tomamos un pocoX≠0 en el complemento ortogonal, entonces FX-Xfunciona (como debe verificar). ↩
- Aunque realmente no deberíamos, parece que no se puede cambiar en este momento.Intenté cambiar hace unos años, pero la comunicación se volvió terriblemente confusa. Los monomorfismos, por ejemplo, se cancelan a la izquierda con la notación habitual, pero se cancelan a la derecha con la otra notación. Traté de evitar esto recordando monos “cancelar después” y epis “cancelar antes”, pero me confundía horriblemente cada vez que trataba de hablar con otro matemático.La enseñanza y la comunicación son extremadamente importantes para mí, así que sacrifiqué mi moral y volví a las funciones de la izquierda. ↩
- Y evangelizar. Hasta que cambiemos a las funciones de la derecha, esta es realmente la convención correcta.Así que supongo que la convención del “matemático” es correcta, pero inconsistente con cómo escribimos (incorrectamente) la aplicación de la función a la izquierda, mientras que la convención del “físico” es incorrecta, pero consistente con el resto de nuestra notación (incorrecta) … Qué mundo para vivir: P.Sin embargo, si tiene un argumento convincente para usar la otra convención, ¡me encantaría escucharlo! ↩
- Vale la pena tomarse un momento para preguntarse por qué no podemos usar la polarización para convertir cada espacio normado en un espacio de producto interno. La respuesta tiene que ver con la ley del paralelogramo . ↩
- De hecho, también mencioné esto la última vez, ¡pero esta característica caracteriza a los espacios hilbert! Si cada subespacio de un espacio banach dado se complementa, ¡entonces ese espacio banach es en realidad un espacio hilbert! ↩
- ¡Esto no significa que los términos sean absolutamente sumables! ↩
- Este isomorfismo está en la categoría de espacios de Hilbert y mapas unitarios, por lo que es automáticamente una isometría. ↩
- El dominio natural de una función periódica realmente es S1, y las matemáticas reflejan esto.Existe una noción de transformada de Fourier en grupos abelianos arbitrarios (localmente compactos). Esta ” dualidad pontryagin ” intercambia “compacidad” y “discreción” (entre otras cosas) y ya lo vemos.S1 es compacto y Z es discreto, y son pontryagin duales entre sí.El análisis armónico abstracto (la rama de las matemáticas que estudia esta teoría de la dualidad) parece realmente interesante, y quiero aprender más sobre él cuando tenga tiempo. Parece tener muchas conexiones con la teoría de la representación, que también está en mi lista de cosas por aprender. ↩
- El caso de L1 y L∞son interesantes, y las refutaciones proceden del principio de delimitación uniforme .Si SnorteF→F en L1 o L∞, conoceríamos los mapas Snorteestán delimitados puntualmente. Pero luego por banachidad espacial tenemos el principio de delimitación uniforme, y sabríamos que elSnortes tendría que estar delimitado uniformemente . Pero podemos encontrar funciones para queSnorteF tener arbitrariamente alto L1 y L∞norma, dándonos la contradicción. ↩
- Esta idea de promediar para aterrizar en un punto fijo es común y poderosa. Es la idea clave detrás del teorema de Maschke y muchos otros resultados. De hecho, tenía la intención de escribir una publicación de blog sobre este tipo de argumentos promedios, pero aún no lo he hecho … ↩
