By: grossack.site
Esta publicación de blog cambió drásticamente en el transcurso de su redacción … Me quedo con el título, porque me gusta la aliteración de “no aritmético, no euclidiano”, pero al final también entendí mejor el ejemplo aritmético. Quizás un mejor título sería “En el que la geometría algebraica explica los PID no euclidianos de una manera que finalmente tiene sentido para mí”.
Cada primer curso de anillos demostrará la cadena de inclusiones.Campos⊂Dominios euclidianos⊂PID⊂UFD⊂Dominios
y la mayoría de los primeros platos demostrarán que cada una de estas inclusiones es estricta dando ejemplos de anillos que son uno pero no el otro. La mayoría de estos son bastante elementales y también memorables en el sentido de que, después de ver el ejemplo, te ayuda a comprender por qué la inclusión es estricta y, a la inversa, una vez que realmente entiendes el por qué , es bastante fácil encontrar contraejemplos.
La excepción, por supuesto, es encontrar un PID que no sea un dominio euclidiano. He buscado esto suficientes veces para memorizar el contraejemplo “estándar”: esZ[1+-192]… Obviamente. Además, si me pidieras en este momento que demostrara que esto es un PID y no es euclidiano, estoy bastante seguro de que no podría. Una gran razón para esto, creo, es que realmente conozco vergonzosamente poca teoría de números. Este anillo es obviamente teórico de números, por lo que tiene mucho sentido para mí que conocer alguna teoría de números más fuerte probablemente aclararía por qué funciona este anillo (y también por qué es el anillo “más simple” de este tipo). Vea aquí lo que estoy seguro que sería una gran explicación si supiera más teoría de números.
Ahora, con esto en mente, quería intentar encontrar ejemplos de este fenómeno fuera de la teoría de números, ¡pero me tomó un tiempo sorprendentemente largo encontrar un 1 ! De hecho, los únicos ejemplos que había visto eran anillos de números enteros de campos como Q(-19), Q(-43), Q(-67), Q(-163).
Aparte, si entiendo correctamente, estos cuatro son los únicos ejemplos de teoría numérica si asumimos la hipótesis de Riemann generalizada , y esto me hizo preguntarme si el PID “genérico” es en realidad euclidiana 2 . Todavía estoy interesado en esa pregunta, pero mientras escribía esta publicación encontré un artículo que muestra cómo construir una gran cantidad de ejemplos 3 , así que sospecho que no es cierto (si es que se puede precisar).
Sin embargo, en el evento principal:R≜R[X,y]/⟨X2+y2+1⟩
es un PID no euclidiano.
Obviamente, se trata de algún tipo de objeto geométrico, pero es bastante difícil para mí (en el momento de escribir este artículo) visualizarlo … Es el anillo de coordenadas de una curva en Rque realmente no existe (ya queX2+y2+1 no tiene soluciones reales).
Aunque X2+y2+1 no tiene soluciones en R2, todavía podemos discutir sobre este anillo geométricamente. ¡Esto es parte de la magia de la geometría algebraica!
Por ejemplo, esperamos que la superficie tallada por este polinomio sea unidimensional. Después de todo, obviamente es una especie de curva en el avión. También esperamos que sea suave , en el sentido de que las derivadas parciales en elX y y dirección nunca se desvanecen simultáneamente (nota (0,0) no está en nuestra curva).
Ahora, estoy dispuesto a creer que esto es un UFD, ya que muchas veces una falla en la factorización está asociada con un punto singular 4 y acabamos de verificar que nuestra variedad sea fluida. Dado que también hemos comprobadoRes unidimensional, en realidad debe ser un PID 5 .
No conozco una buena interpretación geométrica de lo euclidiano, pero afortunadamente la prueba directa de que Rno es euclidiana 6 es mucho más fácil (al menos para mi sensibilidad) que la prueba de los ejemplos teóricos de números:
⌜ Dejar |⋅| ser una función euclidiana en R, y deja pags ser un |⋅|-mínimo distinto de cero no unidad. Entoncespags es primo, por lo tanto máximo (en cada caso, ¿ves por qué?), por lo que R/(pags) es un campo algebraico sobre Ry contenerlo adecuadamente. La única opción esC.
Ahora, ¿cuál es el plan? SabemosR×≅R×, y (R/pags)×≅C×. Pero tenemos una sobreyeccion π:R↠R/pags! En este punto deberíamos empezar a oler sangre en el agua, ya que no hay una obvia sobrecarga de R×↠C×.
Podemos simplificar las cosas notando el mapa de proyección. π es inyectable en R×=R× (¿Ves por qué? Recuerda π es un R-algebra homomorfismo), así que si podemos demostrar que también es sobreyectiva , habremos terminado, ya que ciertamente R×≇C× (de nuevo, ¿ves por qué?).
¿Cómo lo hacemos? Bueno, tomemos una unidadtu-∈R/pags. Arreglar un ascensor tu∈R, y (usando el algoritmo euclidiano) escribe tu=pagsq+v con |v|<|pags|. Avisotu-=v-, entonces desde tu-≠0 (es una unidad) debemos tener v-≠0, y v≠0también (¿ves por qué?). Pero desdepags era |⋅|-mínimo entre las no unidades distintas de cero, vdebe ser una unidad. Entoncesπ(v)=tu-, y π es sobreyectiva (según sea necesario).⌟
En realidad, ahora que he escrito esto, hay una similitud más que superficial entre esto y el S≜Z[1+-192] versión…
Primero, podríamos mirar Z[-19]. Esto no es un UFD, pero podemos solucionarlo moviéndonos aS. Este paso al cierre integral “elimina las singularidades”, y nos da un UFD 7 . Ahora, este UFD es un 8 dimensional , por lo que es un PID, como antes. En cuanto a por qué no es euclidiana:
⌜ De nuevo, deja |⋅| ser una norma euclidiana y elegir una |⋅|-mínimo distinto de cero no unidad pags. Como antes,(pags)es máxima. A continuación, observe queS×=±1. Entonces, por definición, solo hay3 elementos de norma inferior a |pags|: 0, 1, y -1.
Por el algoritmo euclidiano, cada X∈S Se puede escribir como X=pagsq+r donde |r|<|pags|. Entonces hay como máximo 3 clases de residuos mod pags, y por lo tanto S/pags (que debe ser un campo) es F2 o F3.
Finalmente, el polinomio X2+X+5 tiene una raíz en S (Por supuesto, θ=1+-192funciona), pero este polinomio no tiene una raíz enF2 o F3.
Ahora si π:S↠S/pags fueron como se describe, entonces π(θ)tendría que satisfacer este polinomio. Una contradicción.⌟
Observe que en ambos casos, pudimos mover nuestras manos más allá de la prueba PID argumentando que somos un UFD unidimensional. De manera similar, en ambos casos tomamos una no unidad mínima distinta de ceropagsde una supuesta función euclidiana. Luego, al comprender el campo, obtenemos cociente entrepags9 , pudimos demostrar que algo malo debe suceder. ParaR, esto fue un isomorfismo R×≅C×. ParaS, esta fue una solución a una ecuación insoluble.
¡Definitivamente aprendí mucho escribiendo esta publicación! Ojalá todos hayan disfrutado también ^ _ ^. Si la gente tiene ideas sobre más formas de precisar esta analogía, me encantaría escucharla. En particular, el gesto de la mano sobre la suavidad que implica UFDness me parece un poco agresivo, y me encantaría saber más sobre cómo poner eso en tierra firme.
Si la gente tiene alguna referencia sobre “qué fracción” de los PID son en realidad euclidianos, ¡también estaría muy interesado en escuchar eso! Sin embargo, no estoy seguro de si hay una buena manera de medir eso. ¿Quizás hay una forma informal de pensar en ello?
De todos modos, son dos publicaciones en una noche, así que me siento bastante cansado ahora, jaja. Además, mañana tengo (apropiadamente) una clase de teoría de números a las9.30, entonces es ~ hora de dormir ~. Hasta pronto ^ _ ^.
- De manera bastante vergonzosa, mientras escribía esta publicación, aprendí que el ejemplo que estoy a punto de dar está en la página de wikipedia para dominios euclidianos … Entonces … probablemente podría haber encontrado un ejemplo antes, jaja. ↩
- Curiosamente, aunque muchos anillos de números enteros son dominios euclidianos, la norma no es la norma que cabría esperar (heredada deC). Consulte aquí para obtener más información, así como la afirmación que cité sobre la hipótesis de Riemann generalizada. ↩
- Un teorema de existencia de DD Anderson para PID no euclidianos , que puede encontrar aquí , por ejemplo.El autor muestra:Si (R,metro) es cualquier 2-UFD local dimensional , entonces R[1/F] es un PID no principal para cualquier 0≠F∈metro2 un primo principal.Por ejemplo, si k es un campo, entonces k[[X,y]] es un 2 UFD local dimensional (con máxima ideal (X,y)). Así que tomandoF∈(X,y)2 irreductible, digamos, F=X2+y3, encontramos k[[X,y]][1/F] es principal y no euclidiana.Además, una nota aclaratoria rápida: el autor usa “cuasi-local”, para referirse a un anillo no-noetheriano con un ideal máximo único. Parece que solía ser estándar asumir no etherianness cuando se habla de anillos locales, pero esto ha pasado de moda. Hoy en día usamos la palabra “local” en un sentido más amplio. Puedes ver alguna discusión sobre esto aquí .Me imagino que un elemento “principal primo” es un nombre arcaico similar para un elemento irreducible. Dado que en un UFD, el principal ideal generado por un irreducible es primo. Sin embargo, no he leído la prueba lo suficientemente de cerca para verificar esto. ↩
- Aunque este argumento realmente no funciona aquí, ya que también puede fallar “accidentalmente” en ser un UFD cuando su campo subyacente no está cerrado algebraicamente. Por ejemplo, el anillo de coordenadas de un círculoR[X,y]/⟨X2+y2-1⟩es superficialmente muy similar a nuestro anillo (en particular, es suave) pero falla la factorización única (¿ves por qué?) ↩
- En una UFD unidimensional, no hay suficiente espacio para que exista un ideal no principal. De hecho, digamos que teníamos un ideal no fundamental(F,gramo). Entonces(0)⊂(F)⊂(F,gramo)es una cadena de longitud 2, que no cabe en un anillo de dimensión 1.La condición de UFD evita ciertas patologías (nuevamente, asociadas con singularidades), por ejemplo en k[t2,t3]=k[X,y]/⟨X3-y2⟩, que tiene una singularidad, encontramos el ideal (t2,t3) (correspondiente al punto singular en el origen) no es principal, aunque k[t2,t3]es unidimensional. ↩
- Que robé descaradamente de esta mse pregunta ↩
- Recordemos que el pasaje al cierre integral es cómo obtenemos la Normalización de Noether , que elimina los puntos singulares de una curva. ↩
- Vea aquí , por ejemplo. Necesitamos combinar esto con el hecho de que normalizar (es decir, tomar el cierre integral) no cambia la dimensión. ↩
- Lo cual es fácil, ya que los elementos del campo son exactamente los elementos de la norma. <|pags|, y podemos ponerlas en nuestras manos usando el algoritmo euclidiano ↩
