By: Kelsey Houston-Edwards
Originalmente ideada como un medio riguroso de contar huecos, la homología proporciona un andamiaje para las ideas matemáticas, lo que permite una nueva forma de analizar las formas dentro de los datos.
Al principio, la topología puede parecer una rama inusualmente imprecisa de las matemáticas. Es el estudio de formas de plastilina blanda capaces de doblarse, estirarse y comprimirse sin límite. Pero los topólogos tienen algunas restricciones: no pueden crear o destruir agujeros dentro de las formas. (Es una vieja broma que los topólogos no pueden diferenciar entre una taza de café y una rosquilla, ya que ambos tienen un agujero). Si bien esto puede parecer muy diferente a los rigores del álgebra, una idea poderosa llamada homología ayuda a los matemáticos conecta estos dos mundos.
La palabra “agujero” tiene muchos significados en el habla cotidiana: las burbujas, las gomas elásticas y los tazones tienen diferentes tipos de agujeros. Los matemáticos están interesados en detectar un tipo específico de agujero, que puede describirse como un espacio cerrado y hueco. Un agujero unidimensional parece una goma elástica. La línea ondulada que forma una banda de goma es cerrada (a diferencia de un trozo de cuerda suelto) y hueca (a diferencia del perímetro de un centavo).
Ampliando esta lógica, un agujero bidimensional parece una bola hueca. El tipo de agujeros que buscan los matemáticos, cerrados y huecos, se encuentran en las pelotas de baloncesto, pero no en los bolos ni en las bolas de boliche.
Pero las matemáticas trafican con rigor, y aunque pensar en los agujeros de esta manera puede ayudar a apuntar nuestra intuición hacia las gomas elásticas y las pelotas de baloncesto, no es lo suficientemente precisa como para calificar como una definición matemática. No describe claramente los agujeros en dimensiones más altas, por ejemplo, y no se podría programar una computadora para distinguir espacios cerrados y huecos.
“No existe una buena definición de un hoyo”, dijo José Perea de la Universidad Estatal de Michigan.
Entonces, en cambio, la homología infiere los agujeros de un objeto a partir de sus límites, un concepto matemático más preciso. Para estudiar los agujeros en un objeto, los matemáticos solo necesitan información sobre sus límites.
El límite de una forma es la colección de puntos en su periferia, y el límite de una forma es siempre una dimensión más baja que la forma en sí. Por ejemplo, el límite de un segmento de línea unidimensional consta de dos puntos en cada extremo. (Los puntos se consideran de dimensión cero). El límite de un triángulo sólido es el triángulo hueco, que consta de bordes unidimensionales. De manera similar, la pirámide sólida está delimitada por una pirámide hueca.
Si pega dos segmentos de línea juntos, los puntos límite donde se encuentran desaparecen. Los puntos limítrofes son como el borde de un acantilado: están a punto de salirse de la línea. Pero cuando conecta las líneas, los puntos que estaban en los bordes ahora están firmemente en el centro. Por separado, las dos líneas tenían cuatro puntos de límite totales, pero cuando están pegadas, la forma resultante solo tiene dos puntos de límite.
Si puede adjuntar un tercer borde y cerrar la estructura, creando un triángulo hueco, los puntos límite desaparecen por completo. Cada punto límite de los bordes del componente se cancela con otro, y el triángulo hueco queda sin límite. Entonces, siempre que una colección de líneas forma un bucle, los límites se cancelan.
Los bucles giran sobre sí mismos y encierran una región central. Pero el bucle solo forma un agujero si la región central es hueca, como con una goma elástica. Un círculo dibujado en un papel forma un bucle, pero no es un agujero porque el centro está relleno. Los bucles que encierran una región sólida, del tipo sin agujeros, son el límite de esa región bidimensional.
Por lo tanto, los agujeros tienen dos importantes características rigurosas. Primero, un agujero no tiene límite, porque forma una forma cerrada. Y segundo, un agujero no es el límite de otra cosa, porque el agujero en sí debe ser hueco.
Esta definición puede extenderse a dimensiones superiores. Un triángulo sólido bidimensional está delimitado por tres aristas. Si une varios triángulos, algunos bordes de los límites desaparecen. Cuando cuatro triángulos se organizan en una pirámide, cada uno de los bordes se cancela con otro. Entonces, las paredes de una pirámide no tienen límites. Si esa pirámide es hueca, es decir, no es el límite de un bloque sólido tridimensional, entonces forma un agujero bidimensional.
Para encontrar todos los tipos de agujeros dentro de una forma topológica particular, los matemáticos construyen algo llamado complejo de cadena, que forma el andamiaje de la homología.
Se pueden construir muchas formas topológicas pegando piezas de diferentes dimensiones. El complejo de cadenas es un diagrama que proporciona las instrucciones de montaje de una forma. Las piezas individuales de la forma se agrupan por dimensión y luego se ordenan jerárquicamente: el primer nivel contiene todos los puntos, el siguiente nivel contiene todas las líneas, y así sucesivamente. (También hay un nivel cero vacío, que simplemente sirve como base). Cada nivel está conectado al que está debajo mediante flechas, que indican cómo están pegados. Por ejemplo, un triángulo sólido está vinculado a los tres bordes que forman su límite.
Los matemáticos extraen la homología de una forma de su complejo de cadena, lo que proporciona datos estructurados sobre las partes componentes de la forma y sus límites, exactamente lo que necesita para describir los agujeros en cada dimensión. Cuando usa el complejo de cadena, los procesos para encontrar un agujero de 10 dimensiones y un agujero de una dimensión son casi idénticos (excepto que uno es mucho más difícil de visualizar que el otro).
La definición de homología es lo suficientemente rígida como para que una computadora pueda usarla para encontrar y contar huecos, lo que ayuda a establecer el rigor típicamente requerido en matemáticas. También permite a los investigadores utilizar la homología para una búsqueda cada vez más popular: analizar datos.
Eso es porque los datos se pueden visualizar como puntos flotando en el espacio. Estos puntos de datos pueden representar las ubicaciones de objetos físicos, como sensores, o posiciones en un espacio abstracto, como una descripción de las preferencias alimentarias, con puntos cercanos que indican personas que tienen un paladar similar.
Para formar formas a partir de datos, los matemáticos dibujan líneas entre puntos vecinos. Cuando tres puntos están muy juntos, se rellenan para formar un triángulo sólido. Cuando se agrupa un gran número de puntos, se forman formas más complicadas y de mayor dimensión. Completar los puntos de datos les da textura y volumen; crea una imagen a partir de los puntos.
La homología traduce este mundo de formas vagas al riguroso mundo del álgebra, una rama de las matemáticas que estudia estructuras numéricas y simetrías particulares. Los matemáticos estudian las propiedades de estas estructuras algebraicas en un campo conocido como álgebra homológica. Del álgebra aprenden indirectamente información sobre la forma topológica original de los datos. La homología se presenta en muchas variedades, todas las cuales se relacionan con el álgebra.
“La homología es una construcción familiar. Tenemos muchas cosas algebraicas que sabemos al respecto ”, dijo Maggie Miller del Instituto de Tecnología de Massachusetts.
La información proporcionada por la homología incluso explica la imprecisión de los datos: si los datos cambian ligeramente, el número de agujeros debería permanecer igual. Y cuando se procesan grandes cantidades de datos, los agujeros pueden revelar características importantes. Por ejemplo, los bucles en datos que varían en el tiempo pueden indicar periodicidad. Los huecos en otras dimensiones pueden mostrar agrupaciones y vacíos en los datos.
“Existe un impulso real para tener métodos que sean sólidos y que estén sacando características cualitativas”, dijo Robert Ghrist de la Universidad de Pensilvania. “Eso es lo que te da la homología”.
