By: Max G. Levy
Imagínese a dos amigos caminando por el bosque. Tienen hambre y deciden partir una manzana, pero media manzana se siente escasa. Entonces uno de ellos recuerda una de las ideas más extrañas que jamás haya encontrado. Es un teorema matemático del infinito que permite, al menos en principio, convertir una manzana en dos.
Ese argumento se llama la paradoja de Banach-Tarski, en honor a los matemáticos Stefan Banach y Alfred Tarski, quienes lo idearon en 1924. Demuestra que de acuerdo con las reglas fundamentales de las matemáticas, es posible dividir una bola sólida tridimensional en piezas que se recombinan para formar dos copias idénticas del original. Dos manzanas de una.
“De inmediato, uno ve que es completamente contradictorio”, dijo Dima Sinapova de la Universidad de Illinois, Chicago.
La paradoja surge de uno de los conceptos matemáticos más alucinantes: el infinito.
Infinity se siente como un número, pero no se comporta como tal. Puede sumar o restar cualquier número finito hasta el infinito y el resultado sigue siendo el mismo infinito con el que empezó. Pero eso no significa que todos los infinitos sean iguales.
Durante el siglo pasado, los matemáticos han demostrado que algunos son más grandes que otros. Por ejemplo, los números naturales (1, 2, 3, etc.) son un infinito contable. Continúan para siempre, pero es posible descontarlos (como enumerar los números del 1 al 1 billón).
Por el contrario, los números reales, todas las infinitas marcas de graduación que denotan decimales en la recta numérica, son un infinito incontable: es imposible contar todos los números reales que se encuentran en cualquier intervalo de la recta numérica, incluso uno aparentemente muy pequeño. , como el intervalo entre cero y 1.
Esta diferencia entre infinitos contables e incontables hace que los números naturales sean un infinito más pequeño que los números reales, una distinción que los matemáticos transmiten al decir que los dos tienen una “cardinalidad” diferente.
Distinguir cardinalidades es más que un jiujitsu conceptual: en 1891, Georg Cantor demostró que en realidad hay más números reales que números naturales. Cantor también demostró que el número infinito de puntos en una línea tiene la misma cardinalidad que el número infinito de puntos que llenan el volumen de una forma, como una esfera.
Banach y Tarski se dieron cuenta de que se puede convertir una esfera en dos dividiendo el incontable conjunto infinito de puntos que contiene (prepárense para ello) en un incontable número infinito de incontables conjuntos infinitos. La separación se produce mediante un procedimiento de disección muy específico.
Para construir uno de estos conjuntos infinitos contables, elija un punto de partida. Cualquier punto de la esfera servirá. A continuación, elija dos medidas de ángulos que sean un número irracional de grados (es decir, cualquier número de grados, como pi, que no se puede escribir como una fracción). En un momento comenzarás a girar la esfera. Uno de estos ángulos es para rotaciones Norte-Sur y el otro es para rotaciones Este-Oeste.
Ahora, rote la esfera hacia el norte, sur, este u oeste en el número apropiado de grados. Aterrizarás en un nuevo punto. Este es el segundo punto de su conjunto (el primer punto es su punto de partida).
Luego, gire la esfera nuevamente en cualquiera de esas cuatro direcciones, con la única condición de que no puede retroceder directamente en la dirección de donde vino: no girar hacia el oeste justo después de haber girado hacia el este. Obtendrás un tercer punto. Si repite este procedimiento un número infinito de veces, creará un conjunto con infinitos puntos.
Este conjunto tendrá un par de propiedades clave. La primera es que nunca incluirá el mismo punto más de una vez; esto está garantizado por el hecho de que sus ángulos de rotación son irracionales. La segunda es que el conjunto será infinito numerable; podría asignar un número natural a cada punto seleccionado a través del proceso de rotación.
“Toda la esfera es este objeto incontable”, dijo Spencer Unger , un teórico de conjuntos de la Universidad de Toronto. “Pero está dividido en un montón de piezas contables”.
Repita este mismo procedimiento comenzando desde cualquier punto de la esfera. Cada punto de partida genera su propio conjunto único de puntos posteriores. De esta manera, puede crear un número infinito incontable de conjuntos, cada uno de los cuales contiene un número infinito numerable de puntos.
Una vez que tenga estos conjuntos, clasificará sus puntos en un puñado de grupos. Se identificarán cuatro grupos por la última rotación realizada antes de aterrizar en un punto. Un quinto grupo contendrá el punto central de la esfera y todos los puntos en los polos. Un sexto grupo recogerá todos los puntos de partida.
Si combinaras estos grupos, solo producirían una esfera, no las dos que buscaban Banach y Tarski. Para duplicarlo, adaptaron una idea del matemático Felix Hausdorff, que les permitió rotar todos los puntos dentro de un solo grupo para crear un conjunto diferente de puntos que era más grande que el grupo con el que comenzaron.
Tomemos, por ejemplo, el grupo que contiene todos los puntos derivados de una rotación final hacia el Este. Ahora, rote este grupo hacia el oeste. Esto niega instantáneamente todas esas rotaciones finales del Este y transforma el grupo en la colección (aún infinita) de puntos que precedieron inmediatamente a la formación de los conjuntos originales durante el proceso de construcción del conjunto. El grupo ahora contiene puntos que terminaron en rotaciones Norte, Sur y, críticamente, Este, que era la base original del grupo. En otras palabras, la pieza rotada contiene cosas nuevas y su antiguo yo.
La naturaleza del infinito hace posible este aparente aumento. Girar todo el grupo del Este al Oeste borra todas las últimas rotaciones del Este. Entonces, ¿qué queda?
Ningún camino que termina en el oeste precedió a las finales del este porque no se permitía retroceder. Pero un número infinito de caminos que terminan en el Este precedieron a esos giros finales del Este (ninguna regla prohíbe hacer de Este a Este sus dos últimas rotaciones). También lo hicieron un número infinito de caminos que terminan en Norte y Sur. Simplemente al rotar todo el grupo Este, Oeste, lo convertimos en un grupo que contiene todos los puntos Este, Norte y Sur. Todos los puntos de partida están allí ahora también (porque cada camino que consta de un solo giro este ha regresado a su origen).
En este punto, hemos duplicado todos los puntos en tres de los seis grupos (norte, sur y puntos de partida). A continuación, solo necesitamos duplicar los otros tres grupos (Este, Oeste y polos / centro). Los dos primeros son fáciles: simplemente rote el grupo Norte Sur, que le da todos los puntos Norte, Este y Oeste.
Finalmente, necesitamos duplicar los polos y el punto central. Esto ocurre a través de un proceso similar al de otro argumento relacionado con el infinito llamado hotel de Hilbert, ideado por David Hilbert en 1924, el mismo año en que Banach y Tarski presentaron su paradoja.
En este experimento mental, imagine un hotel con un número infinito de habitaciones. Supongamos que solo la habitación 43 está vacía. Tome a todos los huéspedes de la habitación 44 y superiores y muévalos a una habitación. Ha llenado la vacante sin crear una nueva (porque cuando cambia infinitos invitados en una habitación, siempre hay un invitado para reemplazar al que acaba de mudar).
Ahora imagina el conjunto de polos que falta como vacantes que puntean diferentes líneas de latitud en la esfera duplicada. Cambia todos los puntos de cada línea de latitud y el infinito llena las vacantes.
El punto central vacante existe en otro círculo que se puede llenar de la misma manera. Como resultado, ¡voilá! Hemos duplicado los seis grupos. Ahora podemos combinar cada conjunto de seis grupos en su propia esfera.
El resultado parece imposible. ¿Cómo se puede duplicar el volumen de un objeto simplemente descomponiéndolo y reorganizándolo? Una explicación es que Banach-Tarski se descarga de la carga de la incontables responsabilidades. Descomponer la esfera con rotaciones secuenciales, como contar números naturales, crea un espacio de trabajo más manejable, un infinito más manejable que el incontable que plaga la esfera inicial.
La paradoja tiene detractores. Algunos lo ven como una conclusión absurda que apunta a una falla en las reglas del razonamiento matemático que la habilitan.
“Es como un referente”, dijo Norman Wildberger , profesor de matemáticas recientemente jubilado en la Universidad de Nueva Gales del Sur en Sydney, Australia. “Es como una enorme bandera roja”.
La regla matemática que hace posible la paradoja de Banach-Tarski se llama axioma de elección. Es uno de los nueve axiomas en un sistema llamado teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o ZFC, que sirve como base de las matemáticas modernas.
En el desarrollo histórico de ZFC, el axioma de elección a veces se ve como un complemento de los otros ocho, un estado que lo hace vulnerable a las críticas cuando permite resultados como la paradoja de Banach-Tarski. El axioma de elección otorga a los matemáticos el poder de “elegir” un elemento de cada contenedor de una colección, incluso si esa colección es infinita. Esto convierte a Banach-Tarski en una prueba de Rorschach para trabajar con el infinito: muchos ven la paradoja como algo maravilloso; críticos como Wildberger se estremecen.
Pero la mayoría de los matemáticos no pierden el sueño por el axioma de la elección. Ven la paradoja de Banach-Tarski como una demostración de la riqueza de las matemáticas. Ofrece un ejemplo respetuoso de la ley de cómo las matemáticas pueden desviarse de la intuición física sin contradecirse.
“Casi cualquier cosa se puede duplicar, se puede descomponer en dos cosas de la misma cardinalidad”, dijo Sinapova.
