By: Natalie Wolchover
Durante 50 años, los matemáticos han creído que el número total de números reales es incognoscible. Una nueva prueba sugiere lo contrario.
¿Cuál corresponde a los números reales?
n octubre de 2018, David Asperó estaba de vacaciones en Italia, mirando por la ventana de un automóvil mientras su novia los llevaba a su alojamiento y desayuno, cuando se le ocurrió: el paso que faltaba de lo que ahora es una nueva prueba histórica sobre los tamaños de infinito. “Fue esta experiencia flash”, dijo.
Asperó, matemático de la Universidad de East Anglia en el Reino Unido, se puso en contacto con el colaborador con el que había buscado durante mucho tiempo la prueba, Ralf Schindler de la Universidad de Münster en Alemania, y describió su visión. “Fue completamente incomprensible para mí”, dijo Schindler. Pero finalmente, el dúo convirtió el fantasma en una lógica sólida.
Su prueba, que apareció en mayo en Annals of Mathematics , une dos axiomas rivales que se han postulado como fundamentos en competencia para las matemáticas infinitas. Asperó y Schindler demostraron que uno de estos axiomas implica al otro, aumentando la probabilidad de que ambos axiomas, y todo lo que dan a entender sobre el infinito, sean verdaderos.
“Es un resultado fantástico”, dijo Menachem Magidor , un destacado lógico matemático de la Universidad Hebrea de Jerusalén. “Para ser honesto, estaba tratando de conseguirlo yo mismo”.
Más importante aún, el resultado refuerza el caso contra la hipótesis del continuo, una conjetura de 1878 enormemente influyente sobre los estratos de infinitos. Los dos axiomas que han convergido en la nueva prueba indican que la hipótesis del continuo es falsa, y que un tamaño extra de infinito se encuentra entre los dos que, hace 143 años, se suponía que eran el primero y el segundo números infinitamente grandes.
“Ahora tenemos una alternativa coherente a la hipótesis del continuo”, dijo Ilijas Farah , matemático de la Universidad de York en Toronto.
Es una de las cosas intelectualmente más emocionantes y absolutamente dramáticas que jamás haya sucedido en la historia de las matemáticas.
Juliette Kennedy
El resultado es una victoria para el campo de los matemáticos que sienten en sus huesos que la hipótesis del continuo es incorrecta. “Este resultado aclara enormemente el panorama”, dijo Juliette Kennedy , lógica matemática y filósofa de la Universidad de Helsinki.
Pero otro campo favorece una visión diferente de las matemáticas infinitas en la que se sostiene la hipótesis del continuo, y la batalla entre estos bandos está lejos de estar ganada.
“Es un momento increíble”, dijo Kennedy. “Es una de las cosas intelectualmente más emocionantes y absolutamente dramáticas que jamás haya sucedido en la historia de las matemáticas, donde nos encontramos ahora”.
Un infinito de infinitos
Sí, el infinito viene en muchos tamaños. En 1873, el matemático alemán Georg Cantor sacudió las matemáticas hasta la médula cuando descubrió que los números “reales” que llenan la recta numérica, la mayoría con dígitos interminables, como 3,14159 …, superan en número a los números “naturales” como 1, 2 y 3. , aunque hay infinitos de ambos.
Los conjuntos infinitos de números interfieren con nuestra intuición sobre el tamaño, así que como calentamiento, compare los números naturales {1, 2, 3,…} con los números impares {1, 3, 5,…}. Podría pensar que el primer conjunto es más grande, ya que solo la mitad de sus elementos aparecen en el segundo conjunto. Cantor se dio cuenta, sin embargo, de que los elementos de los dos conjuntos se pueden poner en una correspondencia uno a uno. Puede emparejar los primeros elementos de cada conjunto (1 y 1), luego emparejar sus segundos elementos (2 y 3), luego el tercero (3 y 5), y así sucesivamente, cubriendo todos los elementos de ambos conjuntos. En este sentido, los dos conjuntos infinitos tienen el mismo tamaño, o lo que Cantor llamó “cardinalidad”. Él designó su tamaño con el número cardinal.ℵ0 (“Aleph-zero”).
Pero Cantor descubrió que los números naturales no se pueden poner en correspondencia uno a uno con el continuo de los números reales. Por ejemplo, intente emparejar 1 con 1.00000… y 2 con 1.00001… y habrá saltado infinitos números reales (como 1.000000001…). No es posible contarlos todos; su cardinalidad es mayor que la de los números naturales.
Los tamaños del infinito no se detienen ahí. Cantor descubrió que el conjunto de poder de cualquier conjunto infinito, el conjunto de todos los subconjuntos de sus elementos, tiene una cardinalidad mayor que la que tiene. Cada conjunto de poderes en sí mismo tiene un conjunto de poderes, de modo que los números cardinales forman una torre infinitamente alta de infinitos.
De pie al pie de este imponente edificio, Cantor se centró en el primer par de pisos. Logró demostrar que el conjunto formado a partir de diferentes formas de ordenar los números naturales (de menor a mayor, por ejemplo, o con todos los números impares primero) tiene cardinalidad. ℵ1, un nivel por encima de los números naturales. Además, cada uno de estos “tipos de órdenes” codifica un número real.
Su hipótesis del continuo afirma que este es exactamente el tamaño del continuo, que hay precisamente ℵ1 numeros reales. En otras palabras, la cardinalidad del continuo sigue inmediatamente ℵ0, la cardinalidad de los números naturales, sin tamaños de infinito en el medio.
Pero para inmensa angustia de Cantor, no pudo probarlo.
En 1900, el matemático David Hilbert puso la hipótesis del continuo en primer lugar en su famosa lista de 23 problemas matemáticos para resolver en el siglo XX. Hilbert estaba cautivado por las matemáticas nacientes del infinito – “el paraíso de Cantor”, como él lo llamaba – y la hipótesis del continuo parecía su fruto más bajo.
Por el contrario, las impactantes revelaciones del siglo pasado convirtieron la pregunta de Cantor en un profundo acertijo epistemológico.
El problema surgió en 1931, cuando el lógico de origen austriaco Kurt Gödel descubrió que cualquier conjunto de axiomas que usted pueda postular como fundamento de las matemáticas será inevitablemente incompleto. Siempre habrá preguntas que su lista de reglas básicas no puede resolver, hechos matemáticos verdaderos que no pueden probar.
Como Gödel sospechó de inmediato, la hipótesis del continuo es un caso así: un problema que es independiente de los axiomas estándar de las matemáticas.
Estos axiomas, diez en total, se conocen como ZFC (por “axiomas de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección”) y sustentan casi todas las matemáticas modernas. Los axiomas describen propiedades básicas de colecciones de objetos o conjuntos. Dado que prácticamente todo lo matemático se puede construir a partir de conjuntos (el conjunto vacío {} denota 0, por ejemplo; {{}} denota 1; {{}, {{}}} denota 2, etc.), las reglas de conjuntos es suficiente para construir pruebas a lo largo de las matemáticas.
En 1940, Gödel demostró que no se pueden usar los axiomas de ZFC para refutar la hipótesis del continuo. Luego, en 1963, el matemático estadounidense Paul Cohen mostró lo contrario: tampoco se pueden usar para demostrarlo. La prueba de Cohen, junto con la de Gödel, significa que la hipótesis del continuo es independiente de los axiomas de ZFC; pueden tenerlo de cualquier manera.
Además de la hipótesis del continuo, la mayoría de las otras preguntas sobre conjuntos infinitos resultan ser independientes de ZFC también. Esta independencia a veces se interpreta en el sentido de que estas preguntas no tienen respuesta, pero la mayoría de los teóricos de conjuntos ven eso como un profundo error.
Creen que el continuo tiene un tamaño preciso; solo necesitamos nuevas herramientas de lógica para averiguar qué es eso. Estas herramientas vendrán en forma de nuevos axiomas. “Los axiomas no resuelven estos problemas”, dijo Magidor, por lo que “debemos extenderlos a un sistema de axiomas más rico”. Lo que falta es ZFC como un medio para la verdad matemática, no la verdad en sí.
Desde Cohen, los teóricos de conjuntos han buscado apuntalar los fundamentos de la matemática infinita agregando al menos un nuevo axioma a ZFC. Este axioma debería iluminar la estructura de conjuntos infinitos, engendrar teoremas naturales y hermosos, evitar contradicciones fatales y, por supuesto, resolver la pregunta de Cantor.
Gödel, por su parte, creía que la hipótesis del continuo es falsa: que hay más reales de los que Cantor supuso. Sospechaba que hayℵ2 de ellos. Predijo, como escribió en 1947, “que el papel del problema del continuo en la teoría de conjuntos será este, que finalmente conducirá al descubrimiento de nuevos axiomas que harán posible refutar la conjetura de Cantor”.
Fuente de luz
Surgieron dos axiomas rivales que hacen precisamente eso. Durante décadas, se sospechó que eran lógicamente incompatibles. “Siempre hubo esta tensión”, dijo Schindler.
Para entenderlos, tenemos que remontarnos al trabajo de Paul Cohen de 1963, donde desarrolló una técnica llamada forzamiento. Comenzando con un modelo del universo matemático que incluíaℵ1 reales, Cohen usó la fuerza para ampliar el continuo para incluir nuevos reales más allá de los del modelo. Cohen y sus contemporáneos pronto descubrieron que, dependiendo de los detalles del procedimiento, forzar le permite agregar tantos reales como desee. ℵ2 o ℵ35, decir. Aparte de los nuevos reales, los matemáticos generalizaron el método de Cohen para evocar todo tipo de otros objetos posibles, algunos lógicamente incompatibles entre sí. Esto creó un multiverso de posibles universos matemáticos.
“Su método crea una ambigüedad en nuestro universo de conjuntos”, dijo Hugh Woodin , un teórico de conjuntos de la Universidad de Harvard. “Crea esta nube de universos virtuales, y ¿cómo sé en cuál estoy?”
¿Qué era virtual y qué era real? ¿Cuál de dos objetos en conflicto, ideados mediante diferentes procedimientos de forzamiento, debería permitirse? No estaba claro cuándo o incluso si un objeto, solo porque podría concebirse con el método de Cohen, realmente existe.
Para abordar este problema, los matemáticos plantearon varios “axiomas forzosos”, reglas que establecían la existencia real de objetos específicos que el método de Cohen hizo posible. “Si puedes imaginar la existencia de un objeto, entonces existe; este es el principio intuitivo rector que lleva a forzar axiomas ”, explicó Magidor. En 1988, Magidor, Matthew Foreman y Saharon Shelah llevaron este espíritu a su conclusión lógica al plantear el máximo de Martin , que dice que cualquier cosa que puedas concebir usando cualquier procedimiento de forzamiento será una verdadera entidad matemática, siempre que el procedimiento satisfaga una cierta consistencia. condición.
A pesar de toda la expansividad del máximo de Martin, para permitir simultáneamente todos esos productos de forzamiento (mientras se satisface esa condición de constancia), el tamaño del continuo salta solo a un nivel conservador. ℵ2- un número cardinal más que el valor mínimo posible.
Además de resolver el problema del continuo, el máximo de Martin ha demostrado ser una herramienta poderosa para explorar las propiedades de los conjuntos infinitos. Los defensores dicen que fomenta muchos enunciados amplios y teoremas generales. Por el contrario, suponiendo que el continuo tiene cardinalidadℵ1 tiende a generar casos más excepcionales y obstáculos a las pruebas: “un paraíso de contraejemplos”, en palabras de Magidor.
El máximo de Martin se hizo enormemente popular como una extensión de ZFC. Pero luego, en la década de 1990, Woodin propuso otro axioma convincente que también mata la hipótesis del continuo y fija el continuo en ℵ2 pero por una ruta totalmente diferente. Woodin nombró el axioma (*), pronunciado “estrella”, porque era “como una fuente brillante, una fuente de estructura, una fuente de luz”, me dijo.
(*) se refiere a un modelo de universo de conjuntos que satisface los nueve axiomas ZF más el axioma de determinación, en lugar del axioma de elección. Determinación y elección se contradicen lógicamente, razón por la cual (*) y el máximo de Martin parecían irreconciliables. Pero Woodin ideó un procedimiento de forzamiento mediante el cual extender su universo matemático modelo a uno más grande que sea consistente con ZFC, y es en este universo donde el axioma (*) es cierto.
Lo que hace que (*) sea tan esclarecedor es que permite a los matemáticos hacer afirmaciones de la forma “Para todo X , existe Y , tal que Z ” al referirse a las propiedades de los conjuntos dentro del dominio. Tales declaraciones son modos poderosos de razonamiento matemático. Una de esas declaraciones es: “Para todos los conjuntos de ℵ1 reales, existen reales no en esos conjuntos “. Ésta es la negación de la hipótesis del continuo. Por tanto, según (*), la conjetura de Cantor es falsa. El hecho de que (*) permita a los matemáticos concluir esto y afirmar muchas otras propiedades de los conjuntos de reales lo convierte en una “hipótesis atractiva”, dijo Schindler.
Con dos axiomas altamente productivos flotando, los defensores del forzamiento se enfrentaron a un inquietante superávit. “Tanto el axioma de forzar [el máximo de Martin] como el axioma (*) son hermosos y se sienten bien y naturales”, dijo Schindler, así que “¿cuál eliges?”
Si los axiomas se contradicen entre sí, entonces adoptar uno significaría sacrificar las agradables consecuencias del otro, y la decisión de juzgar podría parecer arbitraria. “Habría tenido que pensar en algunas razones por las que una de ellas es verdadera y la otra falsa, o tal vez ambas deberían ser falsas”, dijo Schindler.
En cambio, su nuevo trabajo con Asperó muestra que el máximo de Martin ++ (una variación técnica del máximo de Martin) implica (*). “Si unifica estas teorías, como lo hicimos nosotros”, dijo Schindler, “yo diría que puedes tomarlo como un caso a favor de: tal vez la gente hizo algo bien”.
Enlace perdido
Asperó y Schindler eran jóvenes investigadores juntos en un instituto en Viena hace 20 años. Su prueba germinó varios años después, cuando Schindler leyó un manuscrito, escrito a mano como de costumbre, por el teórico de conjuntos Ronald Jensen. En él, Jensen inventó una técnica llamada L-forcing. Schindler quedó impresionado por él y le pidió a un alumno que intentara desarrollarlo más. Cinco años después, en 2011, describió el forzamiento L a Asperó, que lo estaba visitando en Münster. Asperó sugirió inmediatamente que podrían usar la técnica para derivar (*) del máximo ++ de Martin.
Anunciaron que tenían una prueba el próximo año, en 2012. Woodin inmediatamente identificó un error y retiraron su trabajo avergonzados. Revisaron la prueba a menudo en los años siguientes, pero invariablemente encontraron que les faltaba una idea clave: un “eslabón perdido”, dijo Asperó, en la cadena lógica que va desde el máximo de Martin ++ a (*).
Su plan de ataque para derivar el último axioma del primero era desarrollar un procedimiento de forzamiento similar al forzamiento en L con el que generar un tipo de objeto llamado testigo. Este testigo verifica todas las declaraciones de la forma de (*). Siempre que el procedimiento forzado obedezca a la condición de consistencia requerida, el máximo ++ de Martin establecerá que el testigo, ya que puede ser forzado a existir, existe. Y así sigue (*).
“Sabíamos cómo construir tales forzamientos”, dijo Asperó, pero no veían cómo garantizar que su procedimiento de forzamiento cumpliera con el requisito clave del máximo de Martin. La “experiencia relámpago” de Asperó en el automóvil en 2018 finalmente mostró el camino: podían dividir el forzamiento en una secuencia recursiva de forzamientos, cada uno satisfaciendo las condiciones necesarias. “Recuerdo que me sentí muy seguro de que este ingrediente de hecho haría que la prueba funcionara”, dijo, aunque se necesitaron más destellos de conocimiento tanto de Asperó como de Schindler para resolverlo todo.
Otras estrellas
La convergencia del máximo ++ y (*) de Martin crea una base sólida para una torre de infinitos en la que la cardinalidad del continuo es ℵ2. “La pregunta es, ¿es verdad?” pregunta Peter Koellner , un teórico de conjuntos en Harvard.
Según Koellner, saber que el axioma de forzamiento más fuerte implica (*) puede contar como evidencia a favor o en contra. “Realmente eso depende de cuál sea tu opinión sobre (*)”, dijo.
El resultado de la convergencia enfocará el escrutinio en la verosimilitud de (*), ya que (*) permite a los matemáticos hacer esas poderosas declaraciones de “para todo X , existe Y ” que tienen consecuencias para las propiedades de los números reales.
A pesar de la extrema utilidad de (*) para permitir esas declaraciones, aparentemente sin contradicción, Koellner se encuentra entre los que dudan del axioma. Una de sus implicaciones, un reflejo de la estructura de cierta clase grande de conjuntos con un conjunto mucho más pequeño, le parece extraña.
En particular, la persona que podría haber estado más entusiasmada con la corrección de (*) también se ha vuelto en contra. “Me consideran un traidor”, dijo Woodin en una de nuestras conversaciones de Zoom este verano.
Hace veinticinco años, cuando planteó (*), Woodin pensó que la hipótesis del continuo era falsa y, por tanto, que (*) era una fuente de luz. Pero hace aproximadamente una década, cambió de opinión. Ahora piensa que el continuo tiene cardinalidadℵ1 y que (*) y forzar están “condenados”.
Woodin calificó la prueba de Asperó y Schindler como “un resultado fantástico” que “merece estar en los Anales ” ( Annals of Mathematics es ampliamente considerado como la principal revista de matemáticas) y reconoció que este tipo de resultado de convergencia “generalmente se toma como evidencia de algún tipo de verdad “. Pero no se lo cree. Está el problema mencionado por Koellner, y otro problema aún mayor que identificó en una experiencia flash propia en 2019, poco después de leer la preimpresión del artículo de Asperó y Schindler. “Es un giro inesperado en la historia”, dijo Woodin.
Cuando planteó (*), Woodin también planteó variantes más fuertes llamadas (*) + y (*) ++, que se aplican al conjunto de potencias completas (el conjunto de todos los subconjuntos) de los reales. Se sabe que, en varios modelos del universo matemático, si no en general, (*) + contradice el máximo de Martin. En una nueva demostración, que comenzó a compartir con los matemáticos en mayo, Woodin mostró que (*) + y (*) ++ son equivalentes, lo que significa que (*) ++ contradice el máximo de Martin también en varios modelos.
(*) + y (*) ++ eclipsan mucho (*), por una razón: Permiten a los matemáticos hacer afirmaciones de la forma “Existe un conjunto de reales …” y, por lo tanto, describir y analizar las propiedades de todos y cada uno de los conjuntos. de reales. (*) no proporciona tal “teoría existencial” de conjuntos de reales. Y debido a que el máximo de Martin parece contradecir (*) + y (*) ++, parece que las declaraciones existenciales sobre conjuntos de reales podrían no ser posibles en el marco máximo de Martin. Para Woodin, esto es un factor decisivo: “Lo que esto dice es que está condenado”.
Los otros jugadores principales todavía están asimilando la prueba de Woodin. Pero algunos enfatizaron que sus argumentos son conjeturas. Incluso Woodin reconoce que un descubrimiento sorprendente podría cambiar el panorama (y su opinión), como ha sucedido antes.
Muchos en la comunidad esperan los resultados del intento de Woodin de probar la conjetura de la “L última”: es decir, la existencia de una generalización que lo abarca todo del universo de conjuntos modelo de Gödel. Si existe la máxima L, Woodin tiene buenas razones para pensar que sí, y ahora tiene 400 páginas en un intento de prueba, considerará obvio que el “axioma del sueño” para agregar a ZFC debe ser el axioma de la L suprema, o el afirmación de que L último es el universo de conjuntos. Y en última instancia, Cantor tiene razón: el continuo tiene cardinalidad ℵ1. Si la prueba funciona, el axioma L definitivo será, si no una opción obvia de extensión para ZFC, al menos un rival formidable para el máximo de Martin.
Desde que Gödel y Cohen establecieron la independencia de la hipótesis del continuo de ZFC, la matemática infinita ha sido una historia de elige tu propia aventura en la que los teóricos de conjuntos pueden forzar el número de reales a cualquier nivel: ℵ35, o ℵ1000, diga – y explore las consecuencias. Pero con el resultado de Asperó y Schindler apuntando de manera convincente a ℵ2y Woodin argumentando a favor ℵ1, se ha establecido una clara dicotomía, y un ganador absoluto parece posible recientemente. A la mayoría de los teóricos de conjuntos no les gustaría nada más que salir del multiverso matemático y fusionarse detrás de una sola imagen del paraíso de Cantor, una que sea lo suficientemente hermosa como para considerarla verdadera.
Kennedy, por su parte, cree que pronto podríamos regresar a ese “mundo prelapsario”. “Hilbert, cuando pronunció su discurso, dijo que la dignidad humana depende de que seamos capaces de decidir las cosas en matemáticas de una manera de sí o no”, dijo. “Se trataba de redimir a la humanidad, de si la matemática es lo que siempre pensamos que era: establecer la verdad. No solo esta verdad, esa verdad. No solo posibilidades. No. El continuo es de este tamaño, punto “.
