By: Pradeep Mutalik
El número trascendental π es tan familiar como omnipresente, pero ¿cómo trasciende el número e de Euler al ordinario?
En el lenguaje cotidiano, la palabra “trascendental” connota algo que está más allá de lo ordinario, algo que está oculto y misterioso, con poderes casi mágicos o místicos. En matemáticas, por otro lado, el significado del término “trascendental” es más mundano. Simplemente describe la clase de los infinitos números que no pueden ser soluciones de ecuaciones polinomiales como ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, donde los coeficientes a , b , c , etc., son todos racionales y la potencia más alta de Xpuede ser cualquier número entero positivo. Como dijo el gran matemático Leonhard Euler, “trascienden el poder de los métodos algebraicos”.
Sin embargo, las connotaciones cotidianas de la palabra “trascendental” suenan verdaderas para los dos números trascendentales más famosos: las constantes universales π y e. Estos dos números son de hecho misteriosos y poderosos y exhiben una cualidad casi mágica. Desempeñan un papel central en muchas ramas de las matemáticas, apareciendo de la nada en la solución de problemas cuando menos se lo espera.
De estas dos poderosas constantes, π es mucho más familiar para la mayoría de nosotros. Cada alumno conoce su valor aproximado y lo ha utilizado en los cálculos. Pero el otro, el número e de Euler o 2.71828 …, no es tan conocido para la mayoría de nosotros. Pero, de hecho, e fue el primer número no construido que se demostró trascendental, por Charles Hermite.en 1873.
Tenemos que especificar “no construido” porque en 1850, Joseph Liouville proporcionó el primer ejemplo de un número demostrablemente trascendental, pero fue un número que construyó con ese único propósito, y no surgió naturalmente en ninguna rama de matemáticas. Esto, por supuesto, lo hace bastante diferente de e , que surge naturalmente en casi todas partes en matemáticas. Muchos de nosotros sabemos que e es la base de los logaritmos naturales y surge en la teoría del interés compuesto y el crecimiento y decadencia exponencial, pero podemos hacer cálculos en estos campos sin encontrar explícitamente e . Hoy examinaremos algunos problemas de apariencia ordinaria en los que eaparece inesperadamente, dándonos un fugaz atisbo de su universalidad.
Como π y otros números trascendentales, e tiene una representación decimal infinita: sus dígitos continúan indefinidamente sin ningún patrón discernible. Sin embargo, los primeros 15 dígitos de e tienen un patrón que es agradablemente regular y fácil de recordar usando la siguiente agrupación de dígitos: 2.7 1828 1828 45 90 45. Esta regularidad es, por supuesto, una coincidencia – el resto de los dígitos, como se esperaba , son completamente aleatorios. Pero e tiene varias propiedades sorprendentes que lo hacen único entre todos los números.
Se le presentarán algunas de estas propiedades en este conjunto de rompecabezas, algunos de los cuales son clásicos pero, por supuesto, con algunos añadidos propios. El numero esurge de forma natural en todos ellos, pero pueden ser disfrutados incluso si se entiende la razón de correo apariencia ‘s sólo vagamente. Los detalles exactos de esta visita trascendental pueden dejarse en manos de aquellos con la formación matemática necesaria. Veamos quién puede expresar esta conexión de la forma más sencilla posible.
Rompecabezas 1: Partición
Tomemos cualquier número, como 10. Divídalo en un número de piezas idénticas, como dos 5, y multiplíquelas juntas: 5 × 5 = 25. Ahora, podríamos haber dividido 10 en tres, cuatro, cinco o seis iguales. pedazos y hecho lo mismo. Esto es lo que le sucede a nuestro producto cuando lo hacemos:
2 piezas: 5 × 5 = 25
3 piezas: 3,33 × 3,33 × 3,33 = 37,04
4 piezas: 2,5 × 2,5 × 2,5 × 2,5 = 39,06
5 piezas: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
6 piezas: 1,67 × 1,67 × 1,67 × 1,67 × 1,67 × 1,67 = 21,43
Puedes ver que el producto aumenta, alcanza lo que parece ser un máximo y luego comienza a disminuir. Intente hacer lo mismo con otros números como 20 y 30. Notará que sucede lo mismo en todos los casos. Esto no tiene nada que ver con los números en sí, sino que se debe a una propiedad única del número e .
una. Vea si puede averiguar cuándo el producto alcanza un máximo para un número dado y qué tiene esto que ver con e . Si está perplejo, haga clic en la sugerencia a continuación.
Insinuación:
B. Para el número 10, el producto más grande (39,06) es aproximadamente un 5,5% más grande que el siguiente más grande (37,04). Sin calcular la diferencia real, ¿puede adivinar qué número menor que 100 tiene la diferencia porcentual más pequeña entre el producto más grande y el siguiente más grande? ¿Por qué debería ser esto?
C. ¿Puede explicar por qué surge e en este problema aparentemente simple?
Rompecabezas 2: Unión
El heredero soltero de la fortuna de un multimillonario está en un aprieto. De acuerdo con los términos de su herencia, debe casarse dentro de las 21 semanas o de lo contrario perderá su parte.
A pesar del corto plazo, está decidido a elegir la mejor pareja posible, por lo que se registra en una aplicación matrimonial llamada e -marriage, que tiene las siguientes reglas. Los algoritmos patentados de la aplicación lo emparejarán con un compañero de vida potencial altamente compatible de inmediato, y luego cada dos semanas a partir de entonces. En esas dos semanas, debes conocer al candidato, conocerlo y aceptarlo o rechazarlo. Una vez que los candidatos son rechazados, no pueden ser retirados.
El heredero razona que puede conocer a 10 posibles candidatos que ya están bien emparejados en 20 semanas y casarse en la última semana antes de la fecha límite. Pero todavía quiere maximizar sus posibilidades de elegir al mejor socio. Entonces, a medida que va conociendo a los candidatos, asigna un rango a cada uno.
El problema es que no puede predecir la clasificación de los candidatos que no ha conocido o la clasificación final de los candidatos que tiene. Si acepta a un candidato demasiado pronto, podría perderse uno potencialmente mejor. Si espera demasiado, es posible que ya haya rechazado el mejor.
una. ¿Cómo puede el heredero maximizar sus posibilidades de elegir al mejor candidato, asumiendo que no hay empates?
B. ¿Cómo cambian las posibilidades del heredero si hay un 10% de posibilidades de empatar en el primer lugar?
C. Este problema es clásico cuya solución tiene algo que ver con e . ¿Puede explicar cómo e entra en escena?
Si bien el problema clásico de hecho se centra en maximizar las posibilidades del heredero de elegir al mejor compañero de vida, ni siquiera nosotros podemos garantizar la dicha trascendental. Eso es porque, si el mejor candidato aparece temprano y ha sido rechazado, el heredero puede quedarse con un candidato de clasificación significativamente más baja al final de la vigésima semana.
Se requiere un método más práctico si el objetivo es elegir uno de los mejores candidatos, pero no necesariamente el mejor. Si asumimos que los 10 candidatos están clasificados del 1 al 10, con 1 como el rango más alto, nos gustaría una forma de elegir, digamos, uno de los tres o cuatro primeros la mayor parte del tiempo.
D. ¿Cómo puede el heredero alcanzar el rango más alto esperado de su candidato elegido en este escenario de elección más práctico?
Finalmente, para aquellos que simplemente no pueden tener suficiente de estos rompecabezas electrónicos , aquí hay uno último y más difícil.
Rompecabezas 3: Unión
Supongamos que la misión del heredero tuvo éxito y que encontró la felicidad conyugal y también heredó su gran fortuna. La feliz pareja decide celebrar con una escapada a un resort solo para parejas, donde se ha programado un concierto exclusivo en un gran auditorio.
La entrada es por orden de llegada, y la audiencia está formada solo por parejas, por supuesto. Cuando una pareja ingresa al auditorio, eligen al azar un par de asientos uno al lado del otro. Cada nueva pareja hace lo mismo y, en muchos casos, esto da como resultado asientos individuales vacíos entre parejas.
Los asientos continúan hasta que solo quedan asientos individuales. Luego, el auditorio se declara lleno y comienza el espectáculo.
una. ¿Qué proporción de asientos se espera que queden vacíos cuando se detiene el asiento?
B. ¿Cómo e introduce este teatro de unión?
Eso es todo para nuestra suite trascendental. Espero que disfrutes resolviendo estos acertijos y tal vez aprendas algo sobre el asombroso número e que no conocías antes.
Entonces, feliz desconcierto, y aquí les deseo e- armonía en sus meditaciones trascendentales.
