By: Alexander Hellemans
Construidas sobre la omnipresente transformada de Fourier, las herramientas matemáticas conocidas como wavelets permiten un análisis y una comprensión sin precedentes de las señales continuas.dieciséis
Ana Kova / Revista Quanta
En un mundo cada vez más impulsado por los datos, las herramientas matemáticas conocidas como wavelets se han convertido en una forma indispensable de analizar y comprender la información. Muchos investigadores reciben sus datos en forma de señales continuas, es decir, un flujo ininterrumpido de información que evoluciona con el tiempo, como un geofísico que escucha ondas sonoras que rebotan en las capas de rocas subterráneas o un científico de datos que estudia los flujos de datos eléctricos obtenidos al escanear imágenes. . Estos datos pueden adoptar muchas formas y patrones diferentes, lo que dificulta analizarlos en su conjunto o desarmarlos y estudiar sus piezas, pero las ondas pueden ayudar.
Las ondas son representaciones de oscilaciones cortas en forma de ondas con diferentes rangos de frecuencia y formas. Debido a que pueden adoptar muchas formas (casi cualquier frecuencia, longitud de onda y forma específica es posible), los investigadores pueden usarlas para identificar y hacer coincidir patrones de onda específicos en casi cualquier señal continua. Debido a su amplia versatilidad, las wavelets han revolucionado el estudio de fenómenos ondulatorios complejos en el procesamiento de imágenes, la comunicación y los flujos de datos científicos.
“De hecho, pocos descubrimientos matemáticos han influido en nuestra sociedad tecnológica tanto como las ondas”, dijo Amir-Homayoon Najmi , físico teórico de la Universidad Johns Hopkins. “La teoría de Wavelet ha abierto las puertas a muchas aplicaciones en un marco unificado con énfasis en la velocidad, la escasez y la precisión que antes simplemente no estaban disponibles”.
Wavelets surgió como una especie de actualización de una técnica matemática enormemente útil conocida como la transformada de Fourier. En 1807, Joseph Fourier descubrió que cualquier función periódica, una ecuación cuyos valores se repiten cíclicamente, podría expresarse como la suma de funciones trigonométricas como el seno y el coseno. Esto resultó útil porque permite a los investigadores dividir un flujo de señales en sus partes constituyentes, lo que permite, por ejemplo, a un sismólogo identificar la naturaleza de las estructuras subterráneas en función de la intensidad de las diferentes frecuencias en las ondas sonoras reflejadas.
Como resultado, la transformada de Fourier ha llevado directamente a una serie de aplicaciones en la investigación científica y la tecnología. Pero las wavelets permiten mucha más precisión. “Las wavelets han abierto la puerta a muchas mejoras en la eliminación de ruido, la restauración de imágenes y el análisis de imágenes”, dijo Véronique Delouille , matemática aplicada y astrofísica del Real Observatorio de Bélgica que usa wavelets para analizar imágenes del sol.
Eso es porque las transformadas de Fourier tienen una limitación importante: solo proporcionan información sobre las frecuencias presentes en una señal, sin decir nada sobre su tiempo o cantidad. Es como si tuviera un proceso para determinar qué tipos de billetes hay en una pila de efectivo, pero no cuántos de cada uno hay realmente. “Las wavelets definitivamente resolvieron este problema, y por eso son tan interesantes”, dijo Martin Vetterli , presidente del Instituto Federal Suizo de Tecnología de Lausana.
El primer intento de solucionar este problema vino de Dennis Gabor, un físico húngaro que en 1946 sugirió cortar la señal en segmentos cortos localizados en el tiempo antes de aplicar las transformadas de Fourier. Sin embargo, estos eran difíciles de analizar en señales más complicadas con componentes de frecuencia muy cambiantes. Esto llevó al ingeniero geofísico Jean Morlet a desarrollar el uso de ventanas de tiempo para investigar ondas, con la longitud de las ventanas dependiendo de la frecuencia: ventanas anchas para segmentos de baja frecuencia de la señal y ventanas estrechas para segmentos de alta frecuencia.
Hay muchos tipos de ondas, y puede aplastarlas, estirarlas, puede adaptarlas a la imagen real que está mirando.
Daan Huybrechs, Universidad Católica de Lovaina
Pero estas ventanas todavía contenían frecuencias desordenadas de la vida real, que eran difíciles de analizar. Entonces, Morlet tuvo la idea de hacer coincidir cada segmento con una onda similar que se entendía matemáticamente bien. Esto le permitió captar la estructura general y la sincronización de estos segmentos y explorarlos con mucha mayor precisión. A principios de la década de 1980, Morlet llamó a estos patrones de ondas idealizados “ondelettes”, en francés para “wavelets”, literalmente, “pequeñas ondas”, debido a su apariencia. Por lo tanto, una señal podría dividirse en áreas más pequeñas, cada una centrada alrededor de una longitud de onda específica y analizada emparejándola con la ondícula correspondiente. Ahora frente a un montón de efectivo, para volver al ejemplo anterior, sabríamos cuántos billetes de cada tipo contenía.
A grandes rasgos, imagine que desliza una ondícula particular, de una frecuencia y forma específicas, sobre la señal sin procesar. Siempre que tenga una coincidencia particularmente buena, una operación matemática entre ellos conocida como producto escalar se convierte en cero o muy cerca de él. Al escanear toda la señal con ondas de diferentes frecuencias, puede reconstruir una imagen sólida de todo el tren de señales, lo que permite un análisis completo.
La investigación sobre wavelets evolucionó rápidamente. El matemático francés Yves Meyer , profesor de la École Normale Supérieure de París, esperaba su turno en una fotocopiadora cuando un colega le mostró un trabajo sobre wavelets de Morlet y el físico teórico Alex Grossmann. Meyer quedó inmediatamente fascinado y tomó el primer tren disponible a Marsella, donde comenzó a trabajar con Grossman y Morlet, así como con la matemática y física Ingrid Daubechies (ahora en la Universidad de Duke). Meyer ganaría el premio Abel por su trabajo sobre la teoría de las ondas.
Unos años más tarde, un estudiante graduado de la Universidad Estatal de Pensilvania que estudiaba visión por computadora y análisis de imágenes llamado Stéphane Mallat se encontró con un viejo amigo en la playa. El amigo, un estudiante graduado de Meyer en París, le contó a Mallat sobre su investigación en wavelets. Mallat comprendió de inmediato la importancia del trabajo de Meyer para su propia investigación y rápidamente se asoció con Meyer. En 1986 elaboraron un artículo sobre la aplicación de wavelets en el análisis de imágenes. En última instancia, este trabajo condujo al desarrollo de JPEG2000, una forma de compresión de imágenes que se utiliza en todo el mundo. La técnica analiza la señal de una imagen escaneada con ondículas para producir una colección de píxeles que en general es mucho más pequeña que la imagen original y, al mismo tiempo, permite la reconstrucción de la imagen con la resolución original.
Parte de lo que hace que las wavelets sean tan útiles es su versatilidad, que les permite decodificar casi cualquier tipo de datos. “Hay muchos tipos de ondas, y puedes aplastarlas, estirarlas, puedes adaptarlas a la imagen real que estás mirando”, dijo Daan Huybrechs , ingeniero matemático de la Universidad Católica de Lovaina en Bélgica. Los patrones de onda en las imágenes digitalizadas pueden diferir en muchos aspectos, pero las ondas siempre se pueden estirar o comprimir para que coincidan con las secciones de la señal con frecuencias más bajas o más altas. Las formas de los patrones de onda también pueden cambiar drásticamente, pero los matemáticos han desarrollado diferentes tipos o “familias” de ondas con diferentes escalas de longitud de onda y formas para adaptarse a esta variabilidad.
Una de las familias de ondículas más conocidas es la ondícula madre de Daubechies, cuyos miembros tienen una estructura fractal auto-similar, con grandes picos asimétricos que imitan réplicas más pequeñas de los picos. Estas ondas han demostrado ser tan sensibles al análisis de imágenes que los expertos las han utilizado para distinguir las pinturas originales de Vincent van Gogh de las falsificaciones. Otras familias de wavelets conocidas por sus formas incluyen el sombrero mexicano, con un máximo central y dos mínimos adyacentes, y la wavelet de Coiflet (llamada así por el matemático Ronald Coifman de la Universidad de Yale), similar al sombrero mexicano pero con picos afilados en lugar de zonas planas. . Son útiles para capturar y eliminar picos de ruido no deseados en imágenes, señales de sonido y flujos de datos generados por instrumentos científicos.
Además de su uso en el análisis de señales de sonido y en el procesamiento de imágenes, las ondículas también son una herramienta en la investigación básica. Pueden ayudar a los investigadores a descubrir patrones en los datos científicos permitiéndoles analizar conjuntos de datos completos a la vez. “Siempre me sorprende lo diversas que son las aplicaciones”, dijo Huybrechs. “Hay algo acerca de las wavelets que las convierte en la forma ‘correcta’ de ver los datos”, y eso es cierto sin importar qué tipo de datos sean.
