By: Allison Whitten
Al centrarse en las relaciones entre las soluciones de las ecuaciones polinomiales, en lugar de las soluciones exactas en sí mismas, Évariste Galois cambió el curso de las matemáticas modernas.4
Matt Twombly para la revista Quanta
Antes de ser herido de muerte en un duelo a los 20 años, Évariste Galois descubrió la estructura oculta de las ecuaciones polinómicas. Al estudiar las relaciones entre sus soluciones, en lugar de las soluciones por sí mismas, creó nuevos conceptos que desde entonces se han convertido en una parte esencial de muchas ramas de las matemáticas.
Nadie sabe por qué Galois se encontró en un campo de duelo en París temprano en la mañana del 30 de mayo de 1832, pero la noche anterior, dice la leyenda, se quedó despierto hasta tarde terminando sus últimos manuscritos. Allí escribió:
¡Ve a las raíces de estos cálculos! Agrupa las operaciones. ¡Clasifíquelos de acuerdo con sus complejidades en lugar de su apariencia! Ésta, creo, es la misión de los futuros matemáticos. Este es el camino por el que me embarco en este trabajo.
El edicto de Galois surgió de una situación matemática. En el siglo XVI, los matemáticos habían estudiado polinomios como x 2 – 2 y x 4 – 10 x 2 + 22. Habían tratado de encontrar fórmulas simples que les permitieran calcular las raíces de esos polinomios, los valores de x que forman la ecuación. igual a cero, pero solo podía encontrarlos cuando el exponente más alto no era mayor que 4.
Más allá de eso, el propio Galois demostró que no existen tales fórmulas. Así que ideó una nueva forma de estudiar las raíces: en lugar de calcularlas exactamente, se dio cuenta de que podía estudiar las relaciones algebraicas entre ellas, centrándose en sus complejidades, en lugar de sus apariencias.
En espíritu, su perspectiva era similar a considerar las diferentes simetrías de una forma. Estas son las diversas formas de reorientar la forma para que siga pareciendo igual, como girar un cuadrado 180 grados. Las simetrías entre las raíces de un polinomio son formas de intercambiarlas para que mantengan la misma relación algebraica.
Y así como algunas formas tienen más simetrías que otras (un círculo tiene infinitas; un cuadrado tiene solo ocho), puede reorganizar las raíces de algunas ecuaciones polinomiales con más libertad de lo que puede reorganizar las raíces de otras.
“Algunas formas de reorganizar las raíces pueden ser incompatibles con las reglas del álgebra. En este sentido, es posible que las raíces no sean completamente intercambiables entre sí ”, dijo Brian Conrad de la Universidad de Stanford.
La medida en que las raíces se pueden intercambiar entre sí mientras se mantiene la consistencia algebraica es una propiedad sutil que les dice mucho a los matemáticos sobre cómo reconocer las características de los polinomios que no se pueden ver con solo mirarlos. Es más fácil de ver con ejemplos. Echemos un vistazo a dos, cada uno de los cuales tiene tres raíces (ya que el exponente más alto de cada uno es 3):
f ( x ) = x 3 – 7 x + 5
g ( x ) = x 3 – 7 x + 7
Sobre el papel, son casi idénticos. Pero detrás de escena, las raíces de uno se pueden reorganizar de más formas que las raíces del otro.
Centrémonos primero en f ( x ). En este caso, tenemos tres raíces: una , b y c . Podemos combinarlos algebraicamente para crear un nuevo valor tomando el producto de pares de raíces y sumándolos. Para todos los polinomios cúbicos, aquellos con 3 como su exponente más alto, con un coeficiente de 1 para el término al cubo, se sabe que esta expresión algebraica particular hecha de las raíces siempre es igual al coeficiente del término lineal, o el término que se eleva a el primer poder. En nuestro ejemplo, esto es −7.
Obtenemos esta ecuación algebraica:
ab + ac + bc = −7.
Ahora vamos a reorganizar las raíces, dejando c solo, pero cambiar una y b . Obtenemos:
ba + bc + ac = −7.
Reorganizar las raíces de esta manera conserva la relación algebraica entre ellas: la ecuación sigue siendo cierta porque la multiplicación y la suma son conmutativas, lo que significa que cambiar el orden de las cosas, como mezclar las raíces, no cambia la respuesta. De hecho, para este ejemplo, las seis formas posibles de reorganizar las raíces (incluida aquella en la que no cambian) conservan la relación:
a, b, c: ab + ac + bc = – 7
b, a, c: ba + bc + ac = −7
c, b, a: cb + ca + ba = −7
a, c, b: ac + ab + cb = −7
b, c, a: bc + ba + ca = −7
c, a, b: ca + cb + ab = −7
Ahora veamos el segundo polinomio, g ( x ) = x 3 – 7 x + 7. Si llamamos a las raíces r , s y t , entonces también se cumple una ecuación análoga a la de f ( x ):
rs + rt + st = −7.
Esto será cierto para cualquier polinomio cúbico cuyo término inicial sea x 3 y cuyo término lineal sea −7 x . Y nuevamente, los seis arreglos posibles siguen siendo iguales a -7. Pero curiosamente, para g ( x ), no todas se consideran simetrías del polinomio.
Esto se debe a que las relaciones algebraicas entre sus raíces son más complejas: hay una relación algebraica especial adicional que satisfacen sus raíces. La relación especial es ( r – t ) ( r – s ) ( t – s ) = 7 (cuando asume que r es menor que s , y s es menor que t ). Solo tres de los seis posibles reordenamientos de sus raíces conservan ambas relaciones algebraicas: rs + rt + st = 7 y ( r – t ) ( r – s ) (t – s ) = 7:
r , s , t: ( r – t ) ( r – s ) ( t – s ) = 7
s , r , t: ( s – t ) ( s – r ) ( t – r ) = −7
t , s , r: ( t – r ) ( t – s ) ( r – s ) = −7
r , t, s: ( r – s ) ( r – t ) ( s – t ) = −7
s , t , r: ( s – r ) ( s – t ) ( r – t ) = 7
t , r , s: ( t – s ) ( t – r ) ( s – r ) = 7
Los tres reordenamientos en negrita conservan todas las relaciones algebraicas entre las raíces, incluso más allá de estos dos. En consecuencia, estos tres reordenamientos se consideran las simetrías del polinomio.
No es obvio a simple vista que los dos polinomios tengan diferentes niveles de complejidad, pero se hace visible cuando adoptas la perspectiva que inventó Galois.
Galois empaquetó su forma de pensar en nuevos objetos, que llegaron a llamarse grupos de Galois, que codifican la complejidad de las relaciones algebraicas entre las raíces de un polinomio dado. Dentro de estas relaciones, los reordenamientos de raíces se pueden aplicar uno tras otro, pero se pueden deshacer para volver al punto de partida, al igual que puede aplicar las simetrías de un cuadrado y luego deshacerlas para volver a la posición exacta en la que empezó. con.
Esta idea refleja el concepto general de grupo en matemáticas, que es una colección de simetrías, ya sea que se apliquen a un cuadrado o a las raíces de un polinomio. Los grupos de Galois fueron los primeros ejemplos del concepto de grupo, y las ideas de Galois florecieron en lo que hoy es un área de investigación poderosa y ubicua llamada teoría de grupos.
Los grupos de Galois proporcionan una perspectiva poderosa desde la cual estudiar ecuaciones polinomiales. Si conoce el grupo de Galois de un polinomio, entonces el comportamiento de sus raíces puede entenderse accediendo a muchas de las herramientas de la teoría de grupos. Los conocimientos que obtendrá a través de este enfoque son mucho más esclarecedores que los que puede obtener al realizar álgebra en el polinomio en sí.
“[Con los grupos de Galois] obtienes esta única información, y se difunde y te dice mucho más”, dijo David Harbater de la Universidad de Pensilvania.
Por ejemplo, el grupo de Galois le dice inmediatamente si un polinomio se puede resolver y le permite comparar la estructura subyacente de diferentes polinomios. Los grupos de Galois también se pueden usar para estudiar varios objetos matemáticos en álgebra y teoría de números de maneras que abren soluciones a problemas que de otra manera no estarían disponibles.
“Convertir una pregunta sobre polinomios en una pregunta sobre grupos abre la puerta a muchas otras operaciones y técnicas matemáticas que no se pueden describir fácilmente en el lenguaje original de los polinomios”, dijo Conrad.
Esta expansión ha permitido que los grupos de Galois desempeñen un papel central en muchos de los proyectos matemáticos más famosos durante el último siglo. Aparecieron en la prueba de Gerd Faltings de 1983 de la conjetura de Mordell y en la prueba de Andrew Wiles de 1994 del último teorema de Fermat.
Los grupos de Galois también están en el corazón de algunos de los trabajos en curso más interesantes en matemáticas en la actualidad. Como explicó Quanta en un artículo reciente , son el eje del extenso programa Langlands, que convierte una pregunta sobre polinomios en una pregunta más sofisticada y reveladora sobre la relación entre los grupos de Galois y otra clase especial de grupos.
Aunque la vida de Évariste Galois se truncó, su mayor logro continuará avanzando en las matemáticas durante los siglos venideros, aunque es difícil predecir exactamente cómo.
“[Los grupos de Galois] simplemente tienen una forma de aparecer en lugares sorprendentes”, dijo José Rodríguez de la Universidad de Wisconsin, Madison.
