By: SOORAJ
- Muchas afirmaciones indocéntricas sobre la serie de Fibonacci y la ‘proporción áurea’ en matemáticas no hacen justicia a la historia real del tema.
- Es fácil en estos días encontrar artículos y publicaciones en las redes sociales que afirman analizar la relación entre la serie Fibonacci y la proporción áurea, y al respecto con la cultura india.
- La mayoría de las veces, tales afirmaciones se utilizan para hacer flotar conclusiones engañosas sobre cómo los antiguos eruditos indios conocían estos conceptos y sus aplicaciones.
Muchas afirmaciones indocéntricas sobre la serie de Fibonacci y la ‘proporción áurea’ en matemáticas no hacen justicia a la historia real del tema, mientras que los defensores de estas afirmaciones casi siempre exageran sus afirmaciones hasta un punto en el que muchos innovadores originales no entienden. su debido crédito.
La serie de Fibonacci es uno de los muchos temas interesantes en matemáticas, sobre todo por su asociación con la proporción áurea, que tiene muchas propiedades peculiares y un número igual de mitos relacionados con ella. Puede obtener la serie de Fibonacci tomando dos números iniciales, digamos 0 y 1, y luego calculando el siguiente término sumando los dos términos anteriores. Entonces la serie es así:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…
La serie de Fibonacci también ocurre en toda la naturaleza, como en la disposición de ciertos patrones de semillas.
A través de este artículo, examinemos algunos argumentos históricos asociados con la serie de Fibonacci, la proporción áurea y su relación, y las afirmaciones sobre el trabajo sobre estos conceptos por parte de eruditos en la India antigua.
Se dice que una línea está dividida en la proporción áurea si la proporción de la parte más grande a la más pequeña es como el total de la parte más grande. Por simple que parezca, las implicaciones de tal definición son profundas. Una es la propiedad de auto-semejanza de la proporción áurea. Esto es obvio si toma el ‘rectángulo áureo’ (imagen de abajo) y lo divide de acuerdo con la proporción áurea. La parte del rectángulo que queda tendrá lados cuyas longitudes sean proporcionales a la proporción áurea.
Y si continúas este proceso de división como arriba, obtendrás una serie de rectángulos cada vez más pequeños cuyos lados están de acuerdo con la proporción áurea misma.
Como escribió el astrónomo alemán del siglo XVII Johannes Kepler :
Una peculiaridad de esta proporción reside en el hecho de que se puede construir una proporción similar a partir de la mayor parte y del todo; lo que antes era la parte más grande ahora se vuelve más pequeña, lo que antes era el todo ahora se convierte en la parte más grande, y la suma de estos dos ahora tiene la razón del todo. Esto continúa indefinidamente; la proporción divina siempre queda …
El siguiente punto interesante es la relación entre la serie de Fibonacci y la proporción áurea. Específicamente, la proporción de términos consecutivos de la serie converge con la proporción áurea a medida que aumenta el número de términos. Durante una parte sustancial de la historia de la serie de Fibonacci, los matemáticos no reconocieron esta relación.
Es fácil en estos días encontrar artículos y publicaciones en las redes sociales que afirman analizar la relación entre la serie Fibonacci y la proporción áurea, y al respecto con la cultura india. La mayoría de las veces, tales afirmaciones se utilizan para hacer flotar conclusiones engañosas sobre cómo los antiguos eruditos indios conocían estos conceptos y sus aplicaciones, al mismo tiempo sin discutir el trabajo de estos eruditos.
La mayoría de estas afirmaciones surgen de un hecho establecido de que los estudiosos del sánscrito, dirigidos por Pingala (c. Siglo II a. C.), investigaron una serie que más tarde se denominó la ‘serie de Fibonacci’, con referencia a la prosodia sánscrita.. Los demandantes aquí suelen cometer cuatro errores:
1. La serie de Fibonacci y la proporción áurea no son lo mismo, y durante siglos los matemáticos no sabían cómo estaban relacionados.
2. Algunos han dicho que Fibonacci (también conocido como Leonardo de Pisa) dio crédito a los antiguos eruditos hindúes por la serie que lleva su nombre. Sin embargo, Fibonacci apreció los algoritmos hindúes en su famoso trabajo sobre cálculos, Liber Abaci (1202), pero no atribuyó la serie a nadie. Su enfoque también parece original y significativamente diferente del que empleó Pingala.
3. El propio Fibonacci no conocía la relación entre la serie que lleva su nombre y la proporción áurea, aunque trabajó con ambos. Esta relación salió a la luz en 1560, en el trabajo del matemático alemán Simon Jacob, y fue seguida por el descubrimiento independiente de Kepler en 1608.
4. Los eruditos hindúes no registraron la aparición de la proporción áurea y la serie de Fibonacci en la naturaleza. Estos avances se produjeron más tarde en la Europa medieval y moderna.
Foto: Wikimedia Commons, dominio público
Es importante repetir que el principal error entre los propagandistas pro hindúes de hoy es que la serie y la proporción son las mismas. Comparten una relación sólida, pero nuestro conocimiento de ellos y sus propiedades siguió dos trayectorias distintas a lo largo de la historia durante mucho tiempo. Esto, a su vez, hace que las afirmaciones de que “siempre supimos de la proporción” sean cuestionables.
La proporción áurea es un concepto fundamentalmente geométrico inicialmente investigado por los griegos, comenzando con Euclides en sus Elementos , específicamente en el Libro II, Proposición 11. El Libro VI de Elementos trata de “una línea recta cortada en proporción extrema y media” y trata de la relación más claramente. La definición de Euclides es la siguiente: “Se dice que una línea recta se ha cortado en una proporción extrema y media cuando, como toda la línea corresponde al segmento mayor, lo mayor al menor”, que es precisamente la proporción áurea.
Euclides usó la proporción áurea para construir pentágonos (Libro IV) y ciertos sólidos platónicos, como el icosaedro y el dodecaedro (Libro XIII). Los lados y las diagonales de estas formas 2D y 3D tienen la proporción áurea incorporada .
Los eruditos hindúes antiguos no discutieron la proporción en absoluto, un hecho menos sorprendente por el hecho de que no eran tan apasionados como sus contrapartes de Yavana en el estudio de las matemáticas por sí mismas; en cambio, investigaron ideas en matemáticas para sus aplicaciones, principalmente en astronomía computacional. Esto no quiere decir que nunca apreciamos la belleza natural del tema, sino solo que tales discusiones aparecen esporádicamente a través de la literatura.
La única evidencia, y muy especulativa, es decir, a favor del conocimiento de la proporción áurea entre los hindúes se encuentra en la obra de Bhaskara II en el siglo XII d.C., donde describe las reglas para construir un pentágono, sin pruebas y sin ninguna prueba. referencias explícitas al valor de la razón o su definición.
El siguiente episodio en la historia de la proporción áurea y la serie sucedió nada menos que con Fibonacci. Sus investigaciones sobre la proporción áurea en su libro Practica Geometriae fueron puramente de naturaleza geométrica, en línea con la geometría euclidiana. Fibonacci presentó múltiples métodos para calcular las longitudes de los lados de pentágonos, decágonos, etc. Pero la serie por la que es más famoso, desde entonces llamada serie Fibonacci, aparece en su Liber Abaci , que está dedicado a la aritmética.
En sus páginas, Fibonacci elogia a los estudiosos hindúes por sus ingeniosos algoritmos, “que incluyen nueve cifras y cero”. Tenga en cuenta que la aclamación de Fibonacci aquí está reservada para el sistema de valor posicional decimal hindú y los algoritmos asociados. En la segunda mitad de Liber Abaci , Fibonacci proporciona varios ejemplos demostrativos del uso de este sistema en matemáticas, uno de los cuales fue la serie de Fibonacci. Junto con su enfoque para desarrollar la serie, no hay evidencia discernible de que Fibonacci estuviera familiarizado con las obras en sánscrito de Pingala y sus sucesores.
Lo que es igualmente importante, ni Pingala ni ninguno de los eruditos antiguos de la época conocían la proporción áurea, y Fibonacci, aunque estaba completamente familiarizado con la sección áurea, no la relacionó con la serie que lleva su nombre.
De hecho, en 1509, Luca Pacioli había escrito un libro sobre la sección áurea, titulado Divina Proportione . El texto fue ilustrado por Leonardo da Vinci e incluía problemas sobre sólidos platónicos. Pacioli describe varias razones por las cuales la proporción áurea por sí sola, entre diferentes proporciones de interés, debería denominarse “proporción divina”. (La mayoría de las otras proporciones eran de naturaleza teológica). Sin embargo, ni siquiera él pudo detectar la conexión entre la serie de Fibonacci y la proporción.
Un retrato de Pacioli por Jacopo de ‘Barbari (c. 1460-1516) en el recuadro.
Fuentes: dominio público
Ese hallazgo se produjo en 1560, en un libro de Simon Jacob . Kepler redescubrió este hecho de forma independiente en 1608, en una carta dirigida a un profesor en Leipzig. Así sucedió en la Europa medieval la tan esperada comunión de la serie Fibonacci y la proporción áurea. Kepler también intuyó la existencia de la proporción áurea y el número de Fibonacci en patrones de hojas y flores. Como escribió en 1611:
Es a semejanza de esta serie de autodesarrollo [refiriéndose a la propiedad recursiva de la secuencia de Fibonacci] que se forma, en mi opinión, la facultad de propagación; y así en una flor se muestra la auténtica bandera de esta facultad, el pentágono.
Varios otros científicos continuaron estos estudios de filotaxis (la disposición de hojas y pétalos) y posteriormente descubrieron muchos más ejemplos de la aparición de estos conceptos en el universo natural.
Es por eso que debemos tener cuidado al atribuir estos y logros similares a los antiguos eruditos hindúes, o incluso a los constructores de templos en la India después del siglo X d.C. que trabajaron la proporción en la ‘arquitectura divina’. Todas estas son afirmaciones altamente especulativas dado que el vasto corpus de literatura matemática hindú no discute en absoluto los conceptos matemáticos correspondientes.
En resumen, si bien los antiguos eruditos hindúes sabían de la existencia de la serie que luego recibió el nombre de Fibonacci, ni ellos ni muchos pensadores de siglos después conocieron su relación con la proporción áurea. En segundo lugar, no hay evidencia de que Fibonacci estuviera al tanto del trabajo de Pingala o de aquellos que lo siguieron o que Fibonacci los copió; en cambio, su trabajo, y el de sus compañeros, se basó en diferentes contextos, investigando problemas muy diferentes.
Cada cultura ha hecho su parte justa de contribuciones al desarrollo de los principales esfuerzos humanos, incluidas las matemáticas. Los egipcios que sentaron las bases para las primeras investigaciones de geometría, los babilonios inventaron el sistema de valor posicional, los griegos perfeccionaron el arte de la geometría y la astronomía matemática, y los hindúes idearon el sistema decimal que ha llegado a ser aceptado como la aritmética estándar. sistema en todo el mundo.
Pero atribuir todo a un solo pueblo en nombre del orgullo cultural no hace justicia, ni a la grandeza del tema ni a los innumerables estudiosos que trabajaron para erigir las ideas matemáticas con las que trabajamos hoy.
