By: Robbert Dijkgraaf
Los matemáticos suelen apreciar la belleza genérica o excepcional en su trabajo, pero un tipo es más útil para describir el universo.
Una práctica tradicional en los círculos matemáticos es dividir el campo en dos. Está el argumento tradicional de “aplicado versus puro”, que refleja la división teórico-experimental de otras disciplinas: la tensión entre avanzar el conocimiento hacia un fin específico y hacerlo por sí mismo. O podemos bisecar las matemáticas de la misma manera que se divide nuestro cerebro, con un “hemisferio izquierdo” algebraico que piensa en secuencias lógicas y un “hemisferio derecho” geométrico que tiene un enfoque más visual. Pero el campo también se descompone según una distinción más sutil: la preferencia de uno entre dos sabores de la belleza matemática.
Es difícil para los no expertos ver las matemáticas como algo hermoso en primer lugar. La belleza está en el ojo del espectador, claro, pero también es difícil de ver cuando la obra de arte está oculta en la oscuridad, oscurecida por una nube impenetrable de símbolos y jerga. Tratar de apreciar las matemáticas sin comprender su funcionamiento interno es como leer una descripción de la Quinta Sinfonía de Beethoven en lugar de escucharla.
Sin embargo, los matemáticos no tienen reparos en describir seriamente sus ecuaciones y demostraciones como hermosas. Es un sentido de la estética que ha demostrado ser notablemente universal, existiendo a través de culturas y épocas: un matemático babilónico y un estudiante moderno podrían disfrutar por igual estudiando un arreglo perfecto de líneas en geometría plana o resolviendo una ecuación cuadrática.
Y en términos generales, la belleza matemática puede presentarse en una de dos formas, genérica o excepcional. Me atrevería a decir que los propios matemáticos también tienen estos dos sabores; al menos, tienden a gravitar hacia uno de los dos polos.
La primera variante es una forma etérea de belleza, reflejada en estructuras y patrones formales. Es una sensación de asombro ante el orden inexorable en el que se organiza el mundo matemático. Solo piensa en cuán perfectamente se alinean los números naturales en una fila infinita. O considérese la secuencia de espacios euclidianos de dimensiones crecientes: una línea, un plano, un espacio, etc. O el rigor y la precisión de la propia lógica formal. Estas estructuras son increíblemente poderosas y útiles, y desde cierta perspectiva pueden ser hermosas.
Pero para aquellos que se encuentran al otro lado de la línea divisoria (que, al parecer, incluye a la mayoría de las personas y ciertamente a la mayoría de los no matemáticos), es difícil emocionarse de verdad con el concepto de un espacio vectorial en n dimensiones, o una función continua en el espacio real. línea. Apreciar estas ideas es apreciar una forma de abstracción, y este sentido de la estética a menudo se siente frío y formal. Es la belleza de una reina de hielo, mejor admirada desde una distancia segura, nunca de cerca.
La segunda forma de belleza matemática es más identificable. Se trata de las excepciones a las reglas, los objetos que no encajan en ninguna categoría más amplia. Estas son las curiosidades, las singularidades, las encarnaciones matemáticas de los fósiles encantadores y los minerales extraños que llenaron los gabinetes de historia natural en los siglos XVII y XVIII. Esta belleza tiene una sensación muy diferente: es exótica, pintoresca, íntima y, por supuesto, bastante subjetiva.
Tratar de apreciar las matemáticas sin comprender su funcionamiento interno es como leer una descripción de la Quinta Sinfonía de Beethoven en lugar de escucharla.
Considere, por ejemplo, el dodecaedro, un objeto favorito en muchos gabinetes matemáticos de curiosidades. Es el sólido regular formado por 12 pentágonos, y es uno de los cinco sólidos perfectamente simétricos. Una vez me describieron su atractivo como “complicado, pero no demasiado complicado”. La forma tiene una larga historia como símbolo de lo esotérico que se remonta a los antiguos griegos, cuando Platón sugirió una conexión entre los cinco objetos, ahora llamados sólidos platónicos, y el universo físico. El dodecaedro simbolizaba todos los cuerpos celestes: las estrellas y los planetas, cada uno perfecto en forma y movimiento. Desde entonces, esta forma matemática ha significado lo extraterrestre, y se convirtió en un símbolo querido por alquimistas y astrólogos. Desde una perspectiva matemática moderna todavía se considera excepcional, uno de los pocos objetos simétricos que se sostienen completamente por sí mismos y no forman parte de ningún patrón más grande. Por ejemplo, es fácil generalizar un cubo o un tetraedro a un objeto análogo en dimensiones arbitrarias, pero no hay análogos de dimensiones superiores del dodecaedro.
Otro inadaptado matemático, una posesión preciada para cualquier gabinete, se conoce simplemente como el monstruo. Es el bloque de construcción excepcional más grande a partir del cual se pueden construir todos los grupos de simetría, una monstruosidad matemática que solo se puede visualizar en un espacio de no menos de 196.883 dimensiones. Dependiendo de tu gusto, el grupo de monstruos es el objeto más bonito o el más feo de todas las matemáticas.
Ambos tipos de belleza han cautivado a los matemáticos a lo largo de los años y han dado lugar a muchos avances. La abstracción es una herramienta obviamente poderosa. Permite tratar con todos los miembros de una familia a la vez y coloca los problemas en una perspectiva más amplia. Al matemático que sigue a la reina de hielo a menudo no le gustan las aplicaciones concretas o los casos específicos: Alexander Grothendieck, uno de los sumos sacerdotes del álgebra abstracta, una vez eligió 57 como un ejemplo de número primo. (No lo es). La fascinación por los marginados matemáticos también ha sido una estrategia productiva. Dichos objetos a menudo viven en la intersección de múltiples ideas y pueden actuar como un punto de acceso entre mundos completamente diferentes. Los aficionados de este estilo no se preocupan por las “tonterías abstractas” y aprecian las peculiaridades del caso concreto, con verrugas y todo.
La belleza matemática puede presentarse en una de dos formas, genérica o excepcional.
Pero el mundo real es muy diferente del paisaje idealizado de las matemáticas. La mayoría de las ciencias están ligadas al universo que describe el mundo real, pero esa es solo una de una infinidad de posibilidades matemáticas. Como se dice que Jean-Pierre Serre bromeó con su colega matemático Raoul Bott: “Mientras que las otras ciencias buscan las reglas que Dios ha elegido para este Universo, nosotros los matemáticos buscamos las reglas que incluso Dios tiene que obedecer”.
Frente a esta pregunta existencial, ¿qué leyes sigue realmente el universo? — es natural para la mayoría de los científicos gravitar hacia los encantos identificables de los objetos excepcionales en el gabinete. Pero la ciencia nos ha enseñado que la forma abstracta y austera de la belleza matemática a menudo ofrece una opción más segura a largo plazo.
Una famosa demostración de esto implica la aparición de los sólidos platónicos en los primeros trabajos del astrónomo Johannes Kepler. Propuso un modelo del sistema solar que basaba las distancias entre las órbitas planetarias en una configuración particular de los cinco sólidos. Era una idea hermosa, pero condenada. El propio Kepler más tarde rechazó este modelo, tras concluir que las órbitas de los planetas no formaban la singular forma perfecta de un círculo, sino que tenían la fea apariencia de una elipse, que puede adoptar una amplia gama de formas. Parecía un paso definitivo hacia atrás. Comparó este descubrimiento con un “vagón lleno de estiércol” dejado en los establos de la ciencia de Augias.
Pero mientras que Kepler inicialmente se desvió por su preferencia por los objetos excepcionales, Isaac Newton continuaría explicando las órbitas elípticas de los planetas basándose en su teoría universal de la gravedad. De hecho, mostró cómo todos los movimientos en los cielos eran versiones de círculos, elipses, hipérbolas y parábolas. La belleza residía en las leyes abstractas de Newton, no en las soluciones específicas.
Esta es una lección que los físicos y los científicos en general han aprendido muchas veces. En el siglo XIX, los científicos se alejaron de las colecciones aleatorias de los gabinetes de curiosidades hacia un estudio más sistemático del mundo natural. Los biólogos comenzaron a recolectar todos los especímenes en un grupo de organismos, no solo las mariposas o pájaros más hermosos, y descubrieron la teoría general de la evolución. Los químicos clasificaron todos los elementos, yendo más allá del simple brillo de la plata y el oro, y descubrieron los patrones de la tabla periódica en el proceso. Luego, los físicos revelaron las simetrías de las partículas elementales escondidas dentro de los átomos de los elementos.
Cada vez, descubrieron que la belleza del universo radica en las estructuras abstractas que subyacen a los fenómenos físicos. Al principio, estas estructuras pueden parecer confusas y difíciles de relacionar, pero mirar a largo plazo a menudo resulta mucho más poderoso y significativo. Y, de hecho, más hermoso.
