Los matemáticos encuentran bloques de construcción muy buscados para polinomios especiales

By: Kelsey Houston-Edwards

El duodécimo problema de Hilbert pedía análogos novedosos de las raíces de la unidad, los componentes básicos de ciertos sistemas numéricos. Ahora, más de 100 años después, dos matemáticos los han producido.

os problemas de matemáticas a menudo tienen una estructura simple de “sí o no”: ¿Es esta afirmación verdadera o falsa? Pero los problemas más perdurables e interesantes se propagan de generación en generación, producto de décadas de trabajo, como las catedrales medievales que tardaron siglos en construirse. Las respuestas a estas preguntas abren nuevas puertas y proporcionan estructuras novedosas sobre las que seguir construyendo.

En el año 1900, el matemático David Hilbert anunció una lista de 23 problemas importantes sin resolver que esperaba perduraran e inspiraran. Más de un siglo después, muchas de sus preguntas continúan impulsando la vanguardia de la investigación matemática porque son intencionalmente vagas.

“Hilbert tenía una especie de genio cuando formulaba sus problemas, y es que las preguntas eran un poco abiertas”, dijo Henri Darmon de la Universidad McGill. “Estas preguntas abiertas realmente difíciles son excelentes para las matemáticas, porque en cierto modo nos guían”.

Poco antes de que Hilbert anunciara su lista de problemas, los matemáticos descubrieron los componentes básicos de una colección específica de números asociados con los números racionales, aquellos que pueden expresarse como una razón de números enteros. Este descubrimiento fue la base del duodécimo problema de la lista, que solicita los componentes básicos asociados con los sistemas numéricos más allá de los números racionales.

Después de más de 50 años de esfuerzo colaborativo, una preimpresión reciente finalmente describe los componentes básicos que Hilbert quería para una amplia familia de sistemas numéricos. Pero la respuesta se basa en algunas ideas muy modernas.

“Es algo que hemos estado buscando durante mucho tiempo, y realmente han logrado un gran avance”, dijo Benedict Gross , profesor emérito de la Universidad de California, San Diego y la Universidad de Harvard (y ex miembro de Quanta ‘ s junta asesora). “Es completamente diferente a lo que Hilbert tenía en mente. Pero así son las matemáticas. Nunca se puede decir cómo se va a resolver un problema “.

Excavando raíces

El edificio del duodécimo problema de Hilbert se basa en la teoría de números , una rama de las matemáticas que estudia las propiedades aritméticas básicas de los números, incluidas las soluciones a las expresiones polinómicas. Estas son cadenas de términos con coeficientes adjuntos a una variable elevada a diferentes potencias, como x ³ + 2 x – 3. En particular, los matemáticos a menudo estudian las raíces de estas expresiones, los valores de x que hacen que el polinomio sea igual a cero.

Los teóricos de números a menudo clasifican los polinomios por el tipo de coeficientes que tienen. Los que tienen números racionales como coeficientes son objetivos comunes de estudio, porque son relativamente simples.

“Comenzamos con los números racionales”, dijo Samit Dasgupta , matemático de la Universidad de Duke y uno de los autores del trabajo reciente, junto con Mahesh Kakde del Instituto Indio de Ciencia. “Esta es una especie de sistema fundamental en la teoría de números”.

A veces, las raíces de polinomios con coeficientes racionales son en sí mismas números racionales, pero no siempre es así. Eso significa que los matemáticos que quieran encontrar las raíces de todos los polinomios con coeficientes racionales deben buscar en un sistema numérico expandido: los números complejos, que incluye todos los números racionales y reales, más el número imaginario i , la raíz cuadrada de -1.

Cuando graficamos las raíces de un polinomio en el plano complejo, con números reales a lo largo del eje x y puramente imaginarios a lo largo del eje y , pueden surgir ciertas simetrías. Estas simetrías se pueden aplicar para reorganizar los puntos, permutando sus ubicaciones. Si puede aplicar las simetrías en cualquier orden y obtener el mismo resultado, decimos que el polinomio es abeliano. Pero si el orden en el que aplicas las simetrías cambia el resultado, el polinomio no es abeliano. Los teóricos de los números están más interesados ​​en los polinomios abelianos, nuevamente por su simplicidad, pero pueden ser difíciles de distinguir. Por ejemplo, x ² – 2 es abeliano, pero x ³ – 2 no lo es.

“Para llegar a lo que no es abeliano, no es necesario que se mueva muy lejos”, dijo Ellen Eischen de la Universidad de Oregon.

Además de esas simetrías, los polinomios abelianos también tienen otra característica distintiva, que implica tratar de describir las raíces de los polinomios en términos simples y exactos. Por ejemplo, es fácil describir las raíces del polinomio x ² – 3 exactamente: son solo las raíces cuadradas positivas y negativas de 3. Pero puede ser difícil enunciar las raíces de polinomios más complicados con exponentes más grandes.

Por supuesto, existen soluciones alternativas. “Puede resolver numéricamente para aproximar [la raíz de un polinomio]”, dijo Eischen. “Pero si quieres escribirlo de manera explícita, que es lo que mucha gente diría que se siente más satisfactorio, solo podemos hacerlo de manera limitada”.

Sin embargo, los polinomios abelianos con coeficientes racionales son especiales: siempre es posible calcular sus raíces con precisión a partir de una colección fija de bloques de construcción. Este descubrimiento resultó tan poderoso que inspiró a Hilbert a plantear su duodécimo problema, y ​​todo gracias a una colección de números conocidos como las raíces de la unidad.

Las raíces de la unidad

Las raíces de la unidad son un concepto aparentemente simple con un poder extraordinario. Numéricamente, son las soluciones de polinomios donde una variable elevada a una potencia se establece igual a 1, como x ⁵ = 1 o x ⁸ = 1. Estas soluciones son números complejos, y se denominan por el número en el exponente. Por ejemplo, las “quintas raíces de la unidad” son las cinco soluciones de x ⁵ = 1.

Pero las raíces de la unidad también se pueden describir geométricamente, sin usar ecuaciones. Si los traza en el plano complejo, todos los puntos se encuentran en un círculo de radio 1. Si piensa en el círculo como un reloj, siempre tendrá una raíz de unidad a las 3 en punto, donde x = 1, ya que 1 elevado a cualquier potencia sigue siendo 1. Las raíces restantes de la unidad están igualmente espaciadas alrededor del círculo.

En el siglo XIX, antes de la lista de problemas de Hilbert, los matemáticos descubrieron que las raíces de la unidad podían servir como “bloques de construcción” para la colección particular de números que querían estudiar: raíces de polinomios abelianos con coeficientes racionales. Si toma combinaciones simples de las raíces de la unidad, sumando, restando y multiplicándolas por números racionales, puede describir todas estas raíces deseadas. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 5 es una raíz del polinomio abeliano x ² – 5, y se puede expresar como la suma de varias quintas raíces de la unidad. De manera similar, una raíz de x ² – 2, la raíz cuadrada de 2, se forma usando las octavas raíces de la unidad. Esto es similar a la forma en que los números primos son bloques de construcción para los números enteros.

Entonces, las raíces de la unidad son los bloques de construcción exactos que necesita para describir perfectamente las raíces de los polinomios abelianos con coeficientes racionales. Por otro lado, cualquier combinación de las raíces de la unidad dará como resultado un número que es la raíz de algún polinomio abeliano con coeficientes racionales. Los dos están inextricablemente vinculados.

Lo que Hilbert quería cuando planteó su duodécimo problema era que los matemáticos encontraran los bloques de construcción de las raíces de los polinomios abelianos con coeficientes de sistemas numéricos más allá de los números racionales. En otras palabras, ¿cuál es el análogo de las raíces de la unidad para otros sistemas numéricos?

Ir más allá

Es una pregunta ambiciosa, pero es por eso que aterrizó en la lista de Hilbert en primer lugar. Sospechaba que podía responderse porque, mientras lo escribía, tenía una idea sobre cómo describir los bloques de construcción de otro tipo de sistema numérico, conocido como campos cuadráticos imaginarios. (Aproximadamente, este sistema incluye sólo los números racionales y la raíz cuadrada de un número negativo). Su suposición resultó ser correcta varias décadas después.

“Hay dos casos, el caso [de los racionales] y el caso de los campos cuadráticos imaginarios, que guiaron a Hilbert en la formulación de su pregunta”, dijo Alice Pozzi del Imperial College de Londres.

Hilbert esperaba que los componentes básicos de otros sistemas numéricos se describieran en términos similares a los dos casos que ya conocía. Esto significó utilizar el análisis complejo, la rama de las matemáticas que estudia funciones utilizando números complejos.

Pero en la década de 1970, décadas después de que Hilbert sentara las bases de su duodécimo problema, el matemático Harold Stark conjeturó que las funciones L podrían ayudar a resolverlo. Se trata de un tipo de función que suma una cantidad infinita de números. La función zeta de Riemann, que es el tema de otro problema en la lista de Hilbert , es un ejemplo famoso:

ζ ( s ) = 1 + 12s + 13s + 14s + 15s+ 16s + 17s +….

Durante siglos, los matemáticos han sabido que las funciones L producen resultados misteriosos e intrigantes. Muestran cómo se pueden usar secuencias infinitas de fracciones simples para construir números relacionados con pi y otras constantes importantes.

Sobre la base de esta intuición, Stark pudo encontrar un análogo de las raíces de la unidad para otros sistemas numéricos que utilizan funciones L. Pero si bien los matemáticos creen que la conjetura de Stark es cierta, después de haberla probado extensamente utilizando análisis informáticos, no han tenido ningún éxito al probarla.

“La conjetura de Stark es realmente difícil hasta donde sabemos”, dijo Darmon. “Prácticamente no ha habido ningún progreso, y han pasado 50 años”.

En última instancia, lo que hizo Stark fue proporcionar una receta que pretende encontrar, utilizando funciones L , los bloques de construcción para las raíces de polinomios abelianos con coeficientes de otros sistemas numéricos. Es solo que nadie sabe cómo demostrar que la receta funciona.

Peor aún, la receta de Stark solo brinda la mitad de la información que necesita para describir realmente los bloques de construcción. Esto equivale a tener solo la longitud de una ubicación; también necesita la latitud para encontrar un lugar específico.

En la década de 1980, Gross continuó el trabajo publicando una versión modificada de la receta de Stark, esta vez usando ingredientes más nuevos. Stark, como Hilbert, había pensado en términos de números complejos, pero Gross, en cambio, utilizó los números p -ádicos . Estas son alternativas a los números estándar que utilizan diferentes métodos para decidir cuándo dos números están muy juntos.

“Puede construir toda la teoría del cálculo desde cero nuevamente, donde use esta nueva noción de lo que significa que las cosas estén cerca”, dijo Dasgupta.

Muchos conceptos en matemáticas se pueden reescribir usando números p -ádicos, y eso incluye funciones L. De hecho, dentro de la teoría de números moderna, las funciones L p -ádicas se consideran un compañero natural de las funciones L complejas.

“Forman una familia muy coherente”, dijo Barry Mazur de Harvard. “Trabajan juntos.”

Aun así, al principio la traducción de Gross de números complejos a números p -ádicos no pareció acercar más a los matemáticos a probar la conjetura de Stark.

“Estaba totalmente intimidado por eso, porque pensé, ‘Bueno, esto es tan difícil como la conjetura original, pero es en una forma diferente’”, dijo Gross. Pero en las décadas siguientes, la conjetura p -ádica de Gross comenzó a parecer más fácil de resolver que su contraparte compleja, a medida que los teóricos de los números desarrollaron la teoría de los números p -ádicos.

“Ahora hay todo un mundo de análisis p -ádico que es muy rico y ha dado lugar a muchos resultados interesantes”, dijo Darmon. Muchos problemas importantes en matemáticas resultaron ser más fáciles de resolver utilizando números p -ádicos en lugar de números complejos, incluido el problema número 12 de Hilbert.

Chipping Away

En marzo de este año, Dasgupta y Kakde publicaron un artículo que usaba funciones p -adic L -funciones para responder, por primera vez, a la pregunta de Hilbert sobre una gran colección separada de sistemas numéricos. Conocidos como campos totalmente reales, estos sistemas son una extensión de los números racionales que también incorpora una raíz de un polinomio dado. (Por ejemplo, incorporar la raíz cuadrada de 2 expande los números racionales para incluir números como 2√3, 1 + 2-√y 2-32-√.)

Dasgupta propuso por primera vez la fórmula final que necesitarían, un refinamiento de la conjetura de Gross, en su tesis doctoral de 2004.

“La mitad de mi vida he estado trabajando en esto”, dijo Dasgupta. “Así que es muy satisfactorio haber completado finalmente la prueba”.

El primer paso en el proceso, que tuvo lugar durante la última década, fue probar finalmente la conjetura de Gross en una serie de dos artículos , utilizando los últimos avances en la teoría de números p -ádicos. Pero esto proporcionó solo la mitad de la información, porque la conjetura de Gross, como la de Stark, da solo uno de los dos números necesarios para describir con precisión los bloques de construcción.

Durante los últimos tres años, Dasgupta y Kakde han trabajado para probar una versión de la conjetura de Gross que proporciona ambos números, incluso cuando todavía parecía imposible.

“Quizás es solo que ambos somos muy optimistas”, dijo Kakde. “A veces parecía que estos obstáculos eran bastante serios y, a veces, bastante serios, pero afortunadamente, el progreso siguió sucediendo”.

El año pasado tuvieron un gran avance. Pudieron demostrar que existen los bloques de construcción precisos asociados a campos totalmente reales. En otras palabras, sabían que los objetos deseados estaban en algún lugar y esta percepción los guió en la dirección correcta. Les dio las ecuaciones clave para probar la fórmula exacta que describe completamente los bloques de construcción.

Para confirmar que es correcto, dos estudiantes que trabajan con Dasgupta escribieron un programa de computadora que realmente puede generar los bloques de construcción para un sistema numérico dado, finalmente horneando la receta ahora completa y demostrando que funciona. Junto con la prueba teórica, el programa de computadora ayuda a demostrar la precisión de las fórmulas de Dasgupta y Kakde, un elemento particularmente importante de una solución a un problema tan abstracto, propenso a respuestas sutilmente incorrectas. (El propio Hilbert declaró incorrectamente una solución parcial a su duodécimo problema).

“Lo veo como un esfuerzo de colaboración”, dijo Dasgupta. De hecho, el trabajo reciente es el resultado de tres generaciones de matemáticos: fue alumno de Darmon, quien a su vez fue alumno de Gross. “[Ha] tomado mucho tiempo y [fue] finalmente llevado a cabo por estos documentos recientes”.

El duodécimo problema de Hilbert pide una descripción precisa de los componentes básicos de las raíces de los polinomios abelianos, análogos a las raíces de la unidad, y la investigación de Dasgupta y Kakde proporciona los componentes básicos de una familia de sistemas numéricos, aunque con una versión decididamente moderna, en el sentido de formar de p -adic L -Funciones.

Para confirmar que es correcto, dos estudiantes que trabajan con Dasgupta escribieron un programa de computadora que realmente puede generar los bloques de construcción para un sistema numérico dado, finalmente horneando la receta ahora completa y demostrando que funciona. Junto con la prueba teórica, el programa de computadora ayuda a demostrar la precisión de las fórmulas de Dasgupta y Kakde, un elemento particularmente importante de una solución a un problema tan abstracto, propenso a respuestas sutilmente incorrectas. (El propio Hilbert declaró incorrectamente una solución parcial a su duodécimo problema).

“Lo veo como un esfuerzo de colaboración”, dijo Dasgupta. De hecho, el trabajo reciente es el resultado de tres generaciones de matemáticos: fue alumno de Darmon, quien a su vez fue alumno de Gross. “[Ha] tomado mucho tiempo y [fue] finalmente llevado a cabo por estos documentos recientes”.

El duodécimo problema de Hilbert pide una descripción precisa de los componentes básicos de las raíces de los polinomios abelianos, análogos a las raíces de la unidad, y la investigación de Dasgupta y Kakde proporciona los componentes básicos de una familia de sistemas numéricos, aunque con una versión decididamente moderna, en el sentido de formar de p -adic L -Funciones.

Pero hay una última arruga: dado que Hilbert escribió explícitamente que los bloques de construcción deben formarse a partir de números complejos, la forma en que la solución se aparta de las instrucciones originales de Hilbert muestra la versatilidad de las matemáticas. Da una respuesta a la pregunta de Hilbert usando el análisis p -ádico, mientras que deja la pregunta original, usando un análisis complejo, abierta para que la exploren las generaciones futuras de matemáticos. Puede haber muchas formas de describir los bloques de construcción, y algún día alguien podría describirlos usando números complejos, satisfaciendo la solicitud inicial de Hilbert.

“Es todo una carrera de relevos”, dijo Gross. “Simplemente estás pasando el testigo mientras te agotas a la próxima generación de corredores”.