By: Katie Spalding
¿Sabías que toda la recta numérica tiene el mismo tamaño que la parte de sí misma contenida entre cero y uno?
¿O que 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 +… ad infinitum es igual a la mitad ?
Bienvenido al extraño mundo del infinito, donde nada es lo que parece y, a veces, no hay respuesta que sea la mejor que puedas obtener.
Ir de vacaciones con David Hilbert
Uno de los experimentos mentales más famosos para ayudar a comprender la rareza del infinito fue ideado por David Hilbert, el legendario matemático responsable de plantear las 23 preguntas que definirían las matemáticas del siglo XX. Se conoce como Hilbert’s Grand Hotel , y por lo general es algo como esto :
Imagina que estás de viaje y quieres acostarte a dormir. Finalmente encuentras un hotel, el único en millas a la redonda, pero, lamentablemente, ves el letrero que dice “no hay vacantes”. Pero mira, necesitas un lugar para dormir, y el hotel parece bastante grande, así que decides entrar y pedir una habitación de todos modos, por si acaso.
“Estamos completamente llenos”, dice el recepcionista, “ni una sola habitación libre en la casa”.
Decepcionado, te das la vuelta para irte, pero ella te detiene.
“¡Esperar!” ella dice. “Aún podemos acomodarlo, ya ve, este es un hotel particularmente especial. Tiene un número infinito de habitaciones . ¡Todo lo que tenemos que hacer es decirles a todos los que ya están alojados en el hotel que se muden a la habitación de al lado! “
Presiona un botón y habla por el intercomunicador.
“Este es un anuncio para el cliente”, dice. “El huésped que se aloje en la habitación uno debe mudarse a la habitación dos. El huésped de la habitación dos debe mudarse a la habitación tres. El huésped de la habitación tres, muévase a la habitación cuatro, y así sucesivamente “.
Ella se vuelve hacia ti con una sonrisa en su rostro.
“Ahí vamos”, dice ella. “La habitación uno debería estar ahora libre. Te registraré “.
The Grand Hotel: sin vacantes, pero hay espacio para todos
Entonces, tomas tu llave y giras para salir hacia tu habitación. Pero luego, ves a un grupo de turistas entrar por la puerta.
“Hola”, le dice el líder del grupo al empleado. “Somos 20, escuchamos que este lugar siempre puede dejar espacio para algunos más”.
“Así es”, responde el empleado. “Permítanme mezclar algunos invitados”.
Vuelve al intercomunicador.
“Otro anuncio para el cliente”, dice. “Tenemos 20 nuevos huéspedes en el hotel. ¿Pueden todos pasar a la habitación 20 a su derecha? La habitación uno, por favor, muévase a la habitación 21, la habitación dos a la habitación 22, y así sucesivamente. ¡Gracias!”
Ella se vuelve hacia el grupo.
“¡Deberias hacer eso!” dice y registra al grupo en las habitaciones del uno al 20.
El gran bus llega al Grand Hotel
Tiene que admitir que está impresionado con esta recepcionista: se las arregló para alojar a 21 nuevos huéspedes en un hotel completamente lleno sin sudar. Pero entonces suena el teléfono y la ves preocupada.
“¿Estas seguro? Sí, señora, nosotros … veremos qué podemos hacer ”, dice, y cuelga.
“Hay un autobús lleno de viajeros que se dirige hacia aquí”, le dice. “Hay infinitos de ellos, y todos necesitan una cama para pasar la noche. ¡Vamos a tener que duplicar el número de habitaciones del hotel para que quepan todos!”
Ambos pensáis un rato en cómo resolver esta pesadilla de la hospitalidad hasta que de repente os dais cuenta.
“¡Lo tengo!” le dice al secretario. “Simplemente envíe al huésped de la habitación uno a la habitación dos, al huésped de la habitación dos a la habitación cuatro, al huésped de la habitación tres a la habitación seis, y así sucesivamente. Si todos los huéspedes se mudan a la habitación cuyo número es el doble de su número de habitación actual, entonces se crearán un número infinito de vacantes y ¡todos en el autobús podrán tener una habitación! “
“Por jiminy, lo ha resuelto”, grita el empleado, encendiendo el telecomunicador una vez más. “Para eso, la habitación es gratis”.
Entonces, ¿qué nos dice Hilbert’s Hotel, aparte de que los trabajadores de la hostelería están infravalorados criminalmente como profesión? La gran lección, matemáticamente hablando, es que lo que llamamos “infinito” no se comporta como lo hacen los números normales, y tampoco debería hacerlo.
Infinito en matemáticas
El infinito es … bueno, está en el nombre: infinito. Ya hemos visto cómo no se ve afectado al agregar o multiplicar constantes, pero ¿qué pasa si queremos ser realmente abstractos al respecto? ¿Y si quisiéramos encontrar la suma de dos infinitos? Algo como:
Bueno, esto está realmente bien, matemáticamente hablando. Piénselo: tiene algo increíblemente grande y lo agrega a algo más increíblemente grande, ¿qué va a obtener?
Usando el mismo razonamiento, también podemos multiplicar dos infinitos juntos.
O esto:
Bueno, ahí es donde las cosas se complican. Echemos un vistazo a por qué.
Hay diferentes tipos de infinito
El infinito es infinitamente grande, pero algunos infinitos son más grandes que otros. Lo sé, eso suena completamente loco, pero es cierto, y de hecho, ya lo sabías.
Hilbert’s Hotel nos mostró probablemente la forma más sencilla de pensar en el infinito: simplemente colóquese en uno y comience a caminar por la recta numérica. Esto se llama infinito contable y es el tipo de infinito más pequeño que existe.
El término “infinito contable” puede sonar un poco como un oxímoron: ¿cómo puede algo ser contable e infinito, verdad? Pero el nombre no implica que alguna vez puedas contar todos los miembros de este conjunto infinito, solo se refiere a la idea de que hay alguna forma de ponerlos en una lista. El conjunto infinito contable más obvio son los números naturales, que se pueden enumerar así:
Entonces, ya estamos teniendo una idea aquí de algo importante cuando se trata de comprender los infinitos. Observe que estamos hablando de conjuntos y miembros de conjuntos y contando, en lugar de algo parecido a un número. Mira, uno de los conceptos erróneos más grandes cuando se trata de entender el infinito es pensar en él como un número realmente grande, el número más grande que es posible concebir. Pero eso no es cierto.
Puede que algunos de ustedes digan algo como “¡por supuesto que no es un número! Por eso lo llamamos ‘infinito’ en lugar de, no sé, ¡dos o algo así! ” Pero es más fácil caer en esta trampa de lo que piensas. Después de todo, incluso en matemáticas de nivel universitario, a menudo se nos anima a pensar en el infinito como el límite de una secuencia de números en constante aumento.
Pero el infinito no es un número, y no se comporta de manera confiable como uno, y eso se aclara rápidamente cuando intentamos hacer matemáticas con él.
¿A qué equivale el infinito menos el infinito?
Hemos visto que los números naturales (uno, dos, tres, cuatro, cinco, etc.) forman un conjunto infinito numerable. Y, de hecho, cualquier conjunto infinito con correspondencia uno a uno con los números naturales, es decir, cualquier conjunto infinito en el que se pueda pensar en una forma sensata de enumerar los elementos de uno a … bueno, de uno en adelante, es lo mismo: infinito numerable. Entonces, por ejemplo, el conjunto de “números pares” es numerablemente infinito, porque podemos enumerarlos así:
O qué tal el conjunto de “números enteros” – necesitas pensar un poco para este.
Y esta es la lógica que se esconde detrás del Hotel de Hilbert: el conjunto de “habitaciones en el hotel” es contable, ya que (como es tradicional en las habitaciones de hotel) están etiquetadas por los números naturales. Cuando todos los invitados se mueven una habitación más arriba, eso equivale a etiquetar las habitaciones de esta manera:
Y cuando se mudan a las habitaciones el doble de su número de habitación actual, podemos pensar en eso como etiquetarlos así:
Pero aquí hay una pregunta: ¿qué pasa con el conjunto de números reales?
Si necesita un repaso, un número real es cualquier número en el que pensaría cuando alguien dice “piense en un número”. Uno, -72, π, log (14) – si puedes señalarlo en la recta numérica, entonces es un número real. Generalmente, escribimos números reales como expansiones decimales, pero ¿eso nos ayuda a enumerarlos?
Hagamos la vida más fácil para nosotros y solo enumeremos los números reales que son cero o más. El primer número de la lista es fácil:
Pero, ¿qué viene después? 1? 0,1? 0.000001? ¿Algo más?
Resulta que los números reales simplemente no se pueden poner en una lista como los números naturales o enteros. Son, en terminología matemática, incontables veces infinitos . Y el infinito incontable es más grande que el infinito contable. Significativamente más grande, de hecho.
Entonces, esto nos da una respuesta a nuestra pregunta anterior, al menos, parte de una respuesta. Podemos tomar la diferencia de infinitos, siempre que nos ciñamos a ciertos requisitos. Podemos decir, por ejemplo:
Pero en cuanto a
Bueno, puede ser igual a uno:
O dos:
O pi negativo:
Realmente no hay una buena respuesta, ¡estamos atascados! (En matemáticas, llamamos a estas expresiones “indefinidas”, lo que hace que toda la situación sea mucho menos vergonzosa).
Piensa confundirte como un matemático
Si todavía no te duele la cabeza por todo esto, entonces buenas noticias: básicamente, acabamos de arañar el comienzo de la superficie de la rareza que es el infinito. Pero antes de dejarlo por ahora, déjame preguntarte algo: ¿puedes pensar en un conjunto entre el infinito contable e incontable?
¿Cualquier cosa?
Es una pregunta real, por cierto, nadie sabe la respuesta. Este problema, ya sea que exista algún conjunto que tenga un tamaño mayor que los números naturales pero menor que los reales, se llama hipótesis del continuo , y ha estado sentado allí sin probar, burlándose de los lógicos , durante casi 150 años. A diferencia de la hipótesis de Riemann o P vs NP , esta tampoco es una de esas hipótesis “no probadas pero básicamente todo el mundo piensa que es verdad”; los matemáticos están genuinamente divididos sobre la cuestión.
El problema, y la razón por la que es poco probable que veamos una solución en el corto plazo, es que la hipótesis del continuo no puede demostrarse .
Eso no es una hipérbole: es literalmente imposible, utilizando las herramientas matemáticas que tenemos en este momento, probar la hipótesis del continuo de cualquier manera. ¿Qué suena extraño, verdad? ¿Cómo puede ser posible saber con certeza que una hipótesis no puede ser probada ? No es que sea demasiado difícil para nadie en este momento, sino que incluso la persona más inteligente de la Tierra, al tener acceso a toda la información conocida por la humanidad, lo haría. nunca podrás encontrar una solución?
Bueno, no fue fácil, eso seguro. Para demostrar la imposibilidad de demostrarlo, dos matemáticos de renombre mundial tardaron más de tres décadas en recorrer una de las áreas más abstractas y esotéricas de las matemáticas disponibles. No vamos a entrar en detalles aquí porque, bueno, no tenemos 33 años libres para explicarlo, pero la versión de CliffsNotes es así:
En otras palabras, no podemos probar que no sea cierto, no podemos probar que sea cierto, cancelemos todo .
Insatisfactorio, lo sé, pero todavía hay una lección que aprender aquí: que por muy confuso que pueda encontrar el concepto de infinito, al menos sepa que no está solo. Porque cuando se trata de infinito, para dos de los matemáticos más grandes del mundo, “¡bueno, supongo que nunca lo sabremos!” alguna vez fue un buen resultado, mejor dicho, un gran resultado.Popular en la comunidadEE. UU. Es el peor contaminador de plástico del mundo y genera más que toda la UE
