By: Kevin Hartnett
La prueba de Vesselin Dimitrov de la conjetura de Schinzel-Zassenhaus cuantifica la forma en que los valores especiales de los polinomios se separan entre sí.
n el mundo físico, los objetos a menudo se separan entre sí de forma ordenada. Piense en los diseños simétricos formados por limaduras de hierro bajo la influencia de un campo magnético, o en el espaciamiento uniforme de los asistentes al parque que practican el distanciamiento social.
Cuando los matemáticos miran la recta numérica, ven el mismo tipo de tendencia. Observan las marcas de graduación que denotan los números de conteo positivos y negativos y sienten una especie de fuerza numérica que los mantiene en ese espacio igual. Es como si, al igual que los leones de montaña con sus amplios territorios, los números enteros no pudieran existir más cerca que una unidad de distancia.
El espaciado de la recta numérica es el ejemplo más básico de un fenómeno que se encuentra en todo el campo de la teoría de números. Surge en el estudio de los números primos y en las relaciones entre soluciones a diferentes tipos de ecuaciones. Los matemáticos pueden comprender mejor estos importantes valores cuantificando la fuerza que actúa entre ellos.
“Las cosas que tienen importancia en la teoría de los números tienden a separarse unas a otras. El nombre de esto es un principio de repulsión ”, dijo Jacob Tsimerman de la Universidad de Toronto. “Tratamos de obtener principios de repulsión y los usamos para obtener otros resultados”.
Una gran cantidad de trabajo importante en la teoría de números tiene que ver con la forma en que un principio de repulsión influye en los polinomios, las colecciones de coeficientes y las variables elevadas a potencias. Y durante décadas, los matemáticos han estado tratando de precisar la magnitud exacta de la repulsión en este entorno.
En una prueba publicada en línea a finales de diciembre , Vesselin Dimitrov de la Universidad de Toronto finalmente lo hizo.
Este resultado planta una bandera en el suelo en términos de nuestra comprensión de los números algebraicos.
Jacob Tsimerman, Universidad de Toronto
“Es realmente espectacular”, dijo Péter Varjú de la Universidad de Cambridge por correo electrónico. “La idea de Vesselin es completamente nueva y es hermosa”.
El problema que resolvió Dimitrov, conocido como la conjetura de Schinzel-Zassenhaus, tiene que ver con la geometría de los valores de los polinomios. Predice que cuando grafica ciertos valores, se distribuirán de una manera exacta, como si se separaran entre sí. El trabajo de Dimitrov cuantifica exactamente esta expansión, demostrando que la conjetura es cierta. También proporciona una nueva perspectiva de las leyes que los números parecen obedecer.
“Este resultado planta una bandera en el suelo en términos de nuestra comprensión de los números algebraicos”, dijo Tsimerman.
Las raíces de la unidad
Al estudiar polinomios, los matemáticos están especialmente interesados en sus “raíces”, los valores de una variable que hacen que el polinomio sea igual a cero. Un polinomio tiene tantas raíces como su grado o el valor de su mayor exponente. Así x 2 – 4 tiene dos raíces (2 y -2), mientras que x 5 – 7 x 3 + 2 x 2 – 4 x – 9 tiene cinco raíces.
Los matemáticos quieren saber cómo se relacionan las raíces de un polinomio entre sí. Por ejemplo, cuando se grafican, las raíces de algunos polinomios caen exactamente en los vértices de polígonos regulares; se separan por una longitud geométrica exacta. Los matemáticos están interesados en encontrar otras relaciones geométricas más sutiles entre raíces.
“¿Qué tipo de patrones puedes obtener? ¿Puede obtener algún patrón o los patrones están algo restringidos? ” dijo Emmanuel Breuillard de Cambridge.
El problema que resolvió Dimitrov involucra las raíces de una familia de expresiones particularmente importante llamadas polinomios ciclotómicos. Estos polinomios no se pueden factorizar en otros más pequeños, pero puedes usarlos para construir otros polinomios; son como los elementos de una tabla periódica de polinomios. El primer y más simple polinomio ciclotómico es x – 1, y el segundo es x + 1. El décimo es x 4 – x 3 + x 2 – x + 1. Sin embargo, a diferencia de la tabla periódica, la lista de polinomios ciclotómicos es indefinida. .
Las raíces de los polinomios ciclotómicos siguen un patrón geométrico muy especial. Para verlo, comience con el plano complejo vacío, en el que el eje x traza números reales y el eje y traza números imaginarios. Luego, inscribe un círculo con un radio de 1 alrededor del origen. Este es el círculo unitario. Todas las raíces de los polinomios ciclotómicos se encuentran en este círculo. Llevan un nombre elegante: “raíces de unidad”.
Pero la mayoría de los polinomios no son ciclotómicos y sus raíces no son raíces de unidad. Este es el caso de casi cualquier combinación de coeficientes, variables y exponentes que se te ocurran.
En 1965, Andrzej Schinzel y Hans Zassenhaus predijeron que la geometría de las raíces de polinomios ciclotómicos y no ciclotómicos difiere de una manera muy específica. Tome cualquier polinomio no ciclotómico cuyo primer coeficiente sea 1 y grafique sus raíces. Algunos pueden caer dentro del círculo unitario, otros directamente en él y otros fuera de él. Schinzel y Zassenhaus predijeron que cada polinomio no ciclotómico debe tener al menos una raíz que esté fuera del círculo unitario y al menos una distancia mínima.
O, para poner la conjetura de Schinzel-Zassenhaus en términos de repulsión, predijo que las raíces más pequeñas de un polinomio no ciclotómico, que podría caer dentro del círculo unitario, empujan efectivamente a otras raíces fuera del círculo unitario, como imanes que se alejan entre sí. .
“Puedes pensar en las raíces de un polinomio como partículas cargadas negativamente que se repelen entre sí con una fuerza que decae cuando aumenta la distancia”, dijo Breuillard.
La conjetura de Schinzel-Zassenhaus incluso definió exactamente qué tan fuerte debería ser esa fuerza repulsiva. “Dice que hay un sentido muy preciso y cuantificable en el que las raíces no pueden estar todas muy cerca del círculo unitario”, dijo Tsimerman.
La predicción principal de la conjetura parece una ecuación física. Dice que cada polinomio no ciclotómico debe tener al menos una raíz que esté fuera del círculo unitario por una distancia igual a un número constante dividido por el grado del polinomio. El valor exacto de esa constante no es crítico, por lo que, por ejemplo, digamos que es 0.1. Si tuviéramos un polinomio no ciclotómico de grado 23, la conjetura predice que debería tener una raíz al menos .1 / 23 fuera del círculo unitario.
Es una declaración poderosa, pero durante décadas los matemáticos solo lograron confirmar versiones más débiles de la predicción de la conjetura.
Los mismos Schinzel y Zassenhaus demostraron que cada polinomio no ciclotómico tiene una raíz de al menos 1 sobre 4 elevada al grado del polinomio (1/4 d ) fuera del círculo unitario. Esta distancia es mucho menor que la conjeturada debido a la presencia de un exponente en el denominador.
Durante las siguientes tres décadas, los matemáticos realizaron una serie de mejoras en el trabajo de Schinzel y Zassenhaus, pero el progreso siguió siendo incompleto. Los matemáticos pensaron que la distancia correcta debería ser de un tamaño, pero solo pudieron probar que era al menos un tamaño más pequeño. Los matemáticos no tenían idea de lo difícil que sería resolver la conjetura de Schinzel-Zassenhaus, suponiendo que incluso pudiera resolverse.
“Uno nunca sabe desde el principio cuán simple o complicada resultará la solución [de un problema], hasta que se encuentre esa solución”, dijo Dimitrov por correo electrónico.
Una recombinación inteligente
A menudo, cuando un problema matemático importante permanece abierto durante mucho tiempo, es porque los matemáticos simplemente carecen de las técnicas necesarias para resolverlo. Por más que sueñe con volar a la luna, no llegará hasta que alguien invente un cohete.
Pero resultó que este problema era diferente. “La tecnología ha existido durante al menos 40 años”, dijo Tsimerman.
Dimitrov transformó una pregunta sobre el tamaño de las raíces de los polinomios en una pregunta sobre el tamaño de los valores asociados a un tipo de objeto matemático relacionado pero diferente llamado serie de potencias. Una serie de potencias es como un polinomio, solo que con infinitos términos.
“Como sucede a menudo en matemáticas, el descubrimiento / avance clave fue conectar dos problemas aparentemente diferentes”, dijo Frank Calegari de la Universidad de Chicago por correo electrónico.
Es realmente espectacular. La idea de Vesselin es completamente nueva y hermosa.
Péter Varjú, Universidad de Cambridge
Los matemáticos están acostumbrados a moverse fácilmente entre polinomios y series de potencias y usar las propiedades de uno para establecer las propiedades del otro, pero los matemáticos anteriores a Dimitrov no pensaron en usar esta correspondencia para abordar la conjetura de Schinzel-Zassenhaus.
Para probar lo que quería demostrar sobre los polinomios, Dimitrov necesitaba que las series de potencias relacionadas tuvieran una propiedad específica y esencial: todos los coeficientes debían ser números enteros positivos o negativos (por lo tanto, no fracciones). Y cuando Dimitrov comenzó este trabajo, no había una forma obvia de garantizar que eso sucedería.
Pero en noviembre de 2019, mientras “hojeaba algunos libros y artículos sobre combinatoria algebraica”, Dimitrov se dio cuenta de que había una manera de improvisar algunos teoremas conocidos para producir la relación correcta entre un polinomio no ciclotómico y su serie de potencias. Tomó un polinomio no ciclotómico, encontró sus raíces, elevó esas raíces a diferentes potencias, las multiplicó y luego tomó la raíz cuadrada de ese producto. Luego, finalmente, basándose en esa raíz cuadrada, pudo construir una serie de potencias con la propiedad esencial.
“Este fue un truco sorprendente para mí, sacar la raíz cuadrada de ese producto”, dijo Dimitrov. Todo fue tan inesperado y útil que Dimitrov califica el hecho de que funciona como un “pequeño milagro”. Esto permitió los siguientes pasos en su prueba.
Dimitrov demostró que los coeficientes de la serie de potencias son números enteros. Estos son siempre “grandes” en cierto sentido, deben ser al menos 1. Por eso, otros valores relacionados con la serie de potencias, sus “determinantes de Hankel”, también tienen que ser grandes. A través de una cuidadosa cadena de argumentos, demostró que si los coeficientes son números enteros y los determinantes de Hankel son grandes, entonces una de las raíces del polinomio no ciclotómico con el que comenzó también debe ser grande. Gran parte del trabajo de la prueba consistió en probar rigurosamente esa conexión.
“La implicación de que los coeficientes no son pequeños implica lo que busca Dimitrov es bastante sutil. No es algo que se deduzca de manera directa ”, dijo Umberto Zannier de la Scuola Normale Superiore en Pisa.
Dimitrov demostró que todos los polinomios no ciclotómicos deben tener una raíz que sea al menos log 2 dividida por cuatro veces el grado del polinomio fuera del círculo unitario; es decir, (log 2) / (4 d ). El resultado de Dimitrov cumple la predicción de Schinzel y Zassenhaus de que la distancia es una función de algún valor constante dividido por el grado del polinomio. Y lo hizo al encontrar una forma novedosa de combinar herramientas que los matemáticos ya tenían a mano.
“Inventó el patrón de la prueba, que estaba completamente oculto”, dijo Zannier. “Las piezas ya estaban probadas, pero estas piezas yacían en teorías que a priori no tenían nada que ver con Schinzel-Zassenhaus”.
La prueba de Dimitrov resuelve uno de los principales problemas de la teoría de números sobre los patrones que aparecen dentro de los polinomios. El trabajo futuro puede modificar la proporción que se le ocurrió a Dimitrov. Es posible que los valores exactos sean, digamos, log 3 en el numerador y cinco veces el grado del polinomio en el denominador. Pero para los matemáticos, el valor exacto de las constantes es solo un tecnicismo. Son las proporciones las que más importan y, en ese sentido, Dimitrov ha confirmado con precisión la predicción de Schinzel y Zassenhaus.
“Este resultado es muy nítido y es el mejor resultado posible”, dijo Breuillard. “No va a ser mejor que esto”.
