By: David S. Richeson
El concepto de dimensión parece bastante simple, pero los matemáticos lucharon durante siglos para definirlo y comprenderlo con precisión.
La noción de dimensión al principio parece intuitiva. Al mirar por la ventana, podríamos ver un cuervo sentado sobre un asta de bandera estrecho que experimenta cero dimensiones, un petirrojo en un cable telefónico limitado a uno, una paloma en el suelo libre para moverse en dos y un águila en el aire disfrutando de tres.
Pero, como veremos, encontrar una definición explícita del concepto de dimensión y ampliar sus límites ha resultado excepcionalmente difícil para los matemáticos. Han sido necesarios cientos de años de experimentos mentales y comparaciones imaginativas para llegar a nuestra actual comprensión rigurosa del concepto.
Los antiguos sabían que vivimos en tres dimensiones. Aristóteles escribió : “De magnitud, lo que (se extiende) en una dirección es una línea, lo que (se extiende) en dos direcciones es un plano, y lo que (se extiende) en tres direcciones, un cuerpo. Y no hay otra magnitud además de estas, porque las dimensiones son todo lo que hay “.
Sin embargo, los matemáticos, entre otros, han disfrutado del ejercicio mental de imaginar más dimensiones. ¿Cómo se vería una cuarta dimensión, de alguna manera perpendicular a las tres?
Un enfoque popular: supongamos que nuestro universo conocible es un plano bidimensional en un espacio tridimensional. Una bola sólida que se cierne sobre el avión es invisible para nosotros. Pero si cae y entra en contacto con el avión, aparece un punto. A medida que avanza por el plano, un disco circular crece hasta alcanzar su tamaño máximo. Luego se encoge y desaparece. Es a través de estas secciones transversales que vemos formas tridimensionales.
De manera similar, en nuestro universo tridimensional familiar, si una bola de cuatro dimensiones pasara a través de él, aparecería como un punto, se convertiría en una bola sólida, eventualmente alcanzaría su radio completo, luego se encogería y desaparecería. Esto nos da una idea de la forma de cuatro dimensiones, pero hay otras formas de pensar sobre tales figuras.
Por ejemplo, intentemos visualizar el equivalente en cuatro dimensiones de un cubo, conocido como tesseract, construyéndolo. Si comenzamos con un punto, podemos barrerlo en una dirección para obtener un segmento de línea. Cuando barremos el segmento en dirección perpendicular, obtenemos un cuadrado. Arrastrar este cuadrado en una tercera dirección perpendicular produce un cubo. Asimismo, obtenemos un tesseract barriendo el cubo en una cuarta dirección.
Alternativamente, así como podemos desplegar las caras de un cubo en seis cuadrados, podemos desplegar el límite tridimensional de un tesseract para obtener ocho cubos, como lo mostró Salvador Dalí en su pintura de 1954 Crucifixión ( Corpus Hypercubus ).
Todo esto se suma a una comprensión intuitiva de que un espacio abstracto es n- dimensional si hay n grados de libertad dentro de él (como lo tenían esas aves), o si requiere n coordenadas para describir la ubicación de un punto. Sin embargo, como veremos, los matemáticos descubrieron que la dimensión es más compleja de lo que implican estas descripciones simplistas.
El estudio formal de dimensiones superiores surgió en el siglo XIX y se volvió bastante sofisticado en décadas: una bibliografía de 1911 contenía 1.832 referencias a la geometría de n dimensiones. Quizás como consecuencia, a finales del siglo XIX y principios del XX, el público se enamoró de la cuarta dimensión. En 1884, Edwin Abbott escribió la popular novela satírica Flatland , que utilizaba seres bidimensionales que se encontraban con un personaje de la tercera dimensión como analogía para ayudar a los lectores a comprender la cuarta dimensión. Un científico americano de 1909concurso de ensayos titulado “¿Qué es la cuarta dimensión?” recibió 245 presentaciones compitiendo por un premio de $ 500. Y muchos artistas, como Pablo Picasso y Marcel Duchamp, incorporaron ideas de la cuarta dimensión en su trabajo.
Pero durante este tiempo, los matemáticos se dieron cuenta de que la falta de una definición formal de dimensión era en realidad un problema.
Georg Cantor es mejor conocido por su descubrimiento de que el infinito viene en diferentes tamaños o cardinalidades. Al principio, Cantor creía que el conjunto de puntos en un segmento de línea, un cuadrado y un cubo deben tener cardinalidades diferentes, al igual que una línea de 10 puntos, una cuadrícula de 10 × 10 de puntos y un cubo de 10 × 10 × 10 de puntos tienen diferentes números de puntos. Sin embargo, en 1877 descubrió una correspondencia uno a uno entre puntos en un segmento de línea y puntos en un cuadrado (y también cubos de todas las dimensiones), mostrando que tienen la misma cardinalidad. Intuitivamente, demostró que las líneas, cuadrados y cubos tienen todos el mismo número de puntos infinitesimalmente pequeños, a pesar de sus diferentes dimensiones. Cantor le escribió a Richard Dedekind: “Lo veo, pero no lo creo”.
Cantor se dio cuenta de que este descubrimiento amenazaba la idea intuitiva de que el espacio n -dimensional requiere n coordenadas, porque cada punto en un cubo n- dimensional puede ser identificado de forma única por un número de un intervalo, de modo que, en cierto sentido, estos cubos de alta dimensión son equivalente a un segmento de línea unidimensional. Sin embargo, como señaló Dedekind, la función de Cantor era muy discontinua: esencialmente dividió un segmento de línea en infinitas partes y las volvió a ensamblar para formar un cubo. Este no es el comportamiento que desearíamos para un sistema de coordenadas; sería demasiado desordenado para ser útil, como dar a los edificios en Manhattan direcciones únicas pero asignarlas al azar.
Luego, en 1890, Giuseppe Peano descubrió que es posible envolver una curva unidimensional de manera tan ajustada y continua que llena cada punto en un cuadrado bidimensional. Esta fue la primera curva de llenado de espacio. Pero el ejemplo de Peano tampoco era una buena base para un sistema de coordenadas porque la curva se cruzaba infinitamente muchas veces; Volviendo a la analogía de Manhattan, fue como dar varias direcciones a algunos edificios.
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Estos y otros ejemplos sorprendentes dejaron en claro que los matemáticos necesitaban demostrar que la dimensión es una noción real y que, por ejemplo, los espacios euclidianos de dimensión n y m son diferentes de alguna manera fundamental cuando n ≠ m . Este objetivo se conoció como el problema de la “invariancia de dimensión”.
Finalmente, en 1912, casi medio siglo después del descubrimiento de Cantor, y después de muchos intentos fallidos de probar la invariancia de dimensión, LEJ Brouwer tuvo éxito empleando algunos métodos de su propia creación. En esencia, demostró que es imposible poner un objeto de mayor dimensión dentro de uno de menor dimensión, o colocar uno de menor dimensión en uno de mayor dimensión y llenar todo el espacio, sin romper el objeto en muchos pedazos, como Cantor. hizo, o permitir que se cruzara, como hizo Peano. Además, en esta época, Brouwer y otros dieron una variedad de definiciones rigurosas que, por ejemplo, podrían asignar dimensión inductivamente basándose en el hecho de que los límites de las bolas en el espacio n -dimensional son ( n – 1) -dimensionales.
Aunque el trabajo de Brouwer colocó la noción de dimensión sobre una base matemática sólida, no ayudó a nuestra intuición con respecto a los espacios de dimensiones superiores: nuestra familiaridad con el espacio tridimensional nos lleva por mal camino con demasiada facilidad. Como escribió Thomas Banchoff, “Todos somos esclavos de los prejuicios de nuestra propia dimensión”.
Supongamos, por ejemplo, que colocamos 2 n esferas de radio 1 dentro de un cubo n- dimensional con una longitud de lado 4, y luego colocamos otra en el centro tangente a todas ellas. A medida que n crece, también lo hace el tamaño de la esfera central: tiene un radio denorte–√ – 1. Por tanto, sorprendentemente, cuando n ≥ 10 esta esfera sobresale más allá de los lados del cubo.
Las sorprendentes realidades del espacio de alta dimensión causan problemas en la estadística y el análisis de datos, conocidos colectivamente como la “maldición de la dimensionalidad”. El número de puntos muestrales necesarios para muchas técnicas estadísticas aumenta exponencialmente con la dimensión. Además, a medida que aumentan las dimensiones, los puntos se agruparán con menos frecuencia. Por lo tanto, a menudo es importante encontrar formas de reducir la dimensión de los datos de alta dimensión.
La historia de la dimensión no terminó con Brouwer. Solo unos años después, Felix Hausdorff desarrolló una definición de dimensión que, generaciones más tarde, resultó esencial para las matemáticas modernas. Una forma intuitiva de pensar sobre la dimensión de Hausdorff es que si escalamos, o ampliamos, un objeto d- dimensional uniformemente por un factor de k , el tamaño del objeto aumenta por un factor de k d . Supongamos que escalamos un punto, un segmento de recta, un cuadrado y un cubo por un factor de 3. El punto no cambia de tamaño (3 0 = 1), el segmento se vuelve tres veces más grande (3 1 = 3), el cuadrado se vuelve nueve veces más grande (3 2 = 9) y el cubo se vuelve 27 veces más grande (3 3 = 27).
Una consecuencia sorprendente de la definición de Hausdorff es que los objetos podrían tener dimensiones no enteras. Décadas más tarde, esto resultó ser justo lo que necesitaba Benoit B. Mandelbrot cuando preguntó: “¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?” Una línea de costa puede ser tan irregular que no se puede medir con precisión con ninguna regla: cuanto más corta es la regla, más grande y precisa es la medida. Mandelbrot argumentó que la dimensión de Hausdorff proporciona una forma de cuantificar esta irregularidad, y en 1975 acuñó el término “fractal” para describir formas tan infinitamente complejas.
Para comprender cómo se vería una dimensión no entera, consideremos la curva de Koch, que se produce de forma iterativa. Comenzamos con un segmento de línea. En cada etapa, eliminamos el tercio medio de cada segmento y lo reemplazamos con dos segmentos de la misma longitud que el segmento eliminado. Repita este procedimiento indefinidamente para obtener la curva de Koch. Estúdielo de cerca y verá que contiene cuatro secciones que son idénticas a la curva completa, pero tienen un tercio del tamaño. Entonces, si escalamos esta curva por un factor de 3, obtenemos cuatro copias del original. Esto significa que su dimensión de Hausdorff, d , satisface 3 d = 4. Entonces, d = log 3(4) ≈ 1,26. La curva no ocupa completamente el espacio, como la de Peano, por lo que no es del todo bidimensional, pero es más que una sola línea unidimensional.
Por último, algunos lectores pueden estar pensando: “¿No es el tiempo la cuarta dimensión?” De hecho, como dijo el inventor en la novela de 1895 de HG Wells, La máquina del tiempo , “no hay diferencia entre el tiempo y cualquiera de las tres dimensiones del espacio, excepto que nuestra conciencia se mueve a lo largo de él”. El tiempo como cuarta dimensión explotó en la imaginación pública en 1919, cuando un eclipse solar permitió a los científicos confirmar la teoría general de la relatividad de Albert Einstein y la curvatura del espacio-tiempo plano de cuatro dimensiones de Hermann Minkowski. Como predijo Minkowski en una conferencia de 1908, “de ahora en adelante, el espacio por sí mismo, y el tiempo por sí mismo, están condenados a desvanecerse en meras sombras, y solo una especie de unión de los dos preservará la realidad independiente”.
Hoy en día, los matemáticos y otros se desvían rutinariamente fuera de nuestras cómodas tres dimensiones. A veces, este trabajo implica dimensiones físicas adicionales, como las requeridas por la teoría de cuerdas, pero más a menudo trabajamos de manera abstracta y no imaginamos el espacio real. Algunas investigaciones son geométricas, como el descubrimiento de Maryna Viazovska en 2016 de las formas más eficientes de empaquetar esferas en las dimensiones ocho y 24. A veces requieren dimensiones no enteras cuando los fractales se estudian en diversos campos como la física, la biología, la ingeniería, las finanzas y la imagen. Procesando. Y en esta era de “ big data ”, los científicos, los gobiernos y las corporaciones construyen perfiles de personas, lugares y cosas de gran dimensión.
Afortunadamente, las dimensiones no necesitan ser entendidas completamente para ser disfrutadas, tanto por pájaros como por matemáticos.
